Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 8 & 13 \\ 10 & 15 \end{array}]$

Этап 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Этап 2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$8 \cdot 15 - 10 \cdot 13$

Этап 2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $8$ на $15$ .

$120 - 10 \cdot 13$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 10$ на $13$ .

$120 - 130$

Этап 2.2.2

Вычтем $130$ из $120$ .

$- 10$

Этап 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 10} [\begin{array}{c} 15 & - 13 \\ - 10 & 8 \end{array}]$

Этап 5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{10} [\begin{array}{c} 15 & - 13 \\ - 10 & 8 \end{array}]$

Этап 6

Умножим $- \frac{1}{10}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{10} \cdot 15 & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Этап 7

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{10}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{10} \cdot 15 & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 (2)} \cdot 15 & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 2} \cdot (5 \cdot 3) & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Этап 7.1.4

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 2} \cdot (5 \cdot 3) & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Этап 7.1.5

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot 3 & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Этап 7.2

Объединим $\frac{- 1}{2}$ и $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 \cdot 3}{2} & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Этап 7.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3}{2} & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Этап 7.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Этап 7.5

Умножим $- \frac{1}{10} \cdot - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $- 13$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 13 (\frac{1}{10}) \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Этап 7.5.2

Объединим $13$ и $\frac{1}{10}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Этап 7.6

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{10}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ \frac{- 1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Этап 7.6.2

Вынесем множитель $10$ из $- 10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ \frac{- 1}{10} \cdot (10 (- 1)) & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Этап 7.6.3

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ \frac{- 1}{10} \cdot (10 \cdot - 1) & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Этап 7.6.4

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ - 1 \cdot - 1 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Этап 7.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Этап 7.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{10}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Этап 7.8.2

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1}{2 (5)} \cdot 8 \end{array}]$

Этап 7.8.3

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 4) \end{array}]$

Этап 7.8.4

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 4) \end{array}]$

Этап 7.8.5

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1}{5} \cdot 4 \end{array}]$

Этап 7.9

Объединим $\frac{- 1}{5}$ и $4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1 \cdot 4}{5} \end{array}]$

Этап 7.10

Умножим $- 1$ на $4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 4}{5} \end{array}]$

Этап 7.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & - \frac{4}{5} \end{array}]$