Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 2 & 2 \\ - 1 + 3 i & - 1 - 3 i \end{array}]$

Этап 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Этап 2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (- 1 - 3 i) - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

Этап 2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot - 1 + 2 (- 3 i) - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

Этап 2.2.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 + 2 (- 3 i) - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

Этап 2.2.1.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$- 2 - 6 i - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

Этап 2.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 - 6 i + (- - 1 - (3 i)) \cdot 2$

Этап 2.2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 2 - 6 i + (1 - (3 i)) \cdot 2$

Этап 2.2.1.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 2 - 6 i + (1 - 3 i) \cdot 2$

Этап 2.2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 - 6 i + 1 \cdot 2 - 3 i \cdot 2$

Этап 2.2.1.8

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 - 6 i + 2 - 3 i \cdot 2$

Этап 2.2.1.9

Умножим $2$ на $- 3$ .

$- 2 - 6 i + 2 - 6 i$

Этап 2.2.2

Добавим $- 2$ и $2$ .

$0 - 6 i - 6 i$

Этап 2.2.3

Вычтем $6 i$ из $0$ .

$- 6 i - 6 i$

Этап 2.2.4

Вычтем $6 i$ из $- 6 i$ .

$- 12 i$

Этап 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 12 i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Этап 5

Умножим числитель и знаменатель $\frac{1}{- 12 i}$ на комплексно сопряженное $- 12 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{1}{- 12 i} \cdot \frac{i}{i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Этап 6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим.

$\frac{1 i}{- 12 i i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Этап 6.2

Умножим $i$ на $1$ .

$\frac{i}{- 12 i i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Этап 6.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Добавим круглые скобки.

$\frac{i}{- 12 (i i)} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Этап 6.3.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{i}{- 12 (i^{1} i)} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Этап 6.3.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{i}{- 12 (i^{1} i^{1})} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Этап 6.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{i}{- 12 i^{1 + 1}} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Этап 6.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{i}{- 12 i^{2}} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Этап 6.3.6

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{i}{- 12 \cdot - 1} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Этап 7

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

Этап 8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - - 1 - (3 i) & 2 \end{array}]$

Этап 9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ 1 - (3 i) & 2 \end{array}]$

Этап 10

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ 1 - 3 i & 2 \end{array}]$

Этап 11

Умножим $\frac{i}{12}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} \frac{i}{12} (- 1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$[\begin{array}{c} \frac{i}{12} \cdot - 1 + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.2

Объединим $\frac{i}{12}$ и $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{3 (4)} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.3.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{3 (4)} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.3.3

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{3 \cdot 4} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.3.4

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{4} (- i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.4

Объединим $\frac{i}{4}$ и $i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i i}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{1} i}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{1} i^{1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{1 + 1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.8

Добавим $1$ и $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.9.1.1

Перенесем $- 1$ влево от $i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 \cdot i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.9.1.2

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.9.3

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} - \frac{- 1}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.9.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} - - \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.9.5

Умножим $- - \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.9.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} + 1 (\frac{1}{4}) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.9.5.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} + \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.10

Изменим порядок $- \frac{i}{12}$ и $\frac{1}{4}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.11.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{2 (6)} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.11.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1) \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.11.3

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1) \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.11.4

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{6} \cdot - 1 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.12

Объединим $\frac{i}{6}$ и $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i \cdot - 1}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.13.1

Перенесем $- 1$ влево от $i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{- 1 \cdot i}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.13.2

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{- i}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.15

Применим свойство дистрибутивности.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} \cdot 1 + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.16

Умножим $\frac{i}{12}$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.17

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.17.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{3 (4)} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.17.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{3 (4)} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.17.3

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{3 \cdot 4} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.17.4

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{4} (- i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.18

Объединим $\frac{i}{4}$ и $i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i i}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.19

Возведем $i$ в степень $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{1} i}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.20

Возведем $i$ в степень $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{1} i^{1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.21

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{1 + 1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.22

Добавим $1$ и $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.23

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.23.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{- 1}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.23.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - - \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.23.3

Умножим $- - \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.23.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + 1 (\frac{1}{4}) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.23.3.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.24

Изменим порядок $\frac{i}{12}$ и $\frac{1}{4}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.25

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.25.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{2 (6)} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.25.2

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{2 \cdot 6} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 12.25.3

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{6} \end{array}]$