Линейная алгебра Примеры

[\begin{matrix} 3 & - 9 - 2 & 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 3 & - 9 \\ - 2 & 5 \end{array}]$

Этап 1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Этап 2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

3 \cdot 5 - (- 2 \cdot - 9)

$3 \cdot 5 - (- 2 \cdot - 9)$

Этап 2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим

3

$3$ на

5

$5$ .

15 - (- 2 \cdot - 9)

$15 - (- 2 \cdot - 9)$

Этап 2.2.1.2

Умножим

- (- 2 \cdot - 9)

$- (- 2 \cdot - 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Умножим

- 2

$- 2$ на

- 9

$- 9$ .

15 - 1 \cdot 18

$15 - 1 \cdot 18$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

18

$18$ .

15 - 18

$15 - 18$

15 - 18

$15 - 18$

15 - 18

$15 - 18$

Этап 2.2.2

Вычтем

18

$18$ из

15

$15$ .

- 3

$- 3$

- 3

$- 3$

- 3

$- 3$

Этап 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{- 3} [\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}]

$\frac{1}{- 3} [\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Этап 5

Вынесем знак минуса перед дробью.

- \frac{1}{3} [\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}]

$- \frac{1}{3} [\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Этап 6

Умножим

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ на каждый элемент матрицы.

[\begin{matrix} - \frac{1}{3} \cdot 5 & - \frac{1}{3} \cdot 9 - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot 5 & - \frac{1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим

- \frac{1}{3} \cdot 5

$- \frac{1}{3} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим

5

$5$ на

- 1

$- 1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 5 (\frac{1}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 9 - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 5 (\frac{1}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.1.2

Объединим

- 5

$- 5$ и

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

[\begin{matrix} \frac{- 5}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 9 - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 5}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

[\begin{matrix} \frac{- 5}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 9 - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 5}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

[\begin{matrix} - \frac{5}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 9 - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.3

Сократим общий множитель

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ в числитель.

[\begin{matrix} - \frac{5}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot 9 - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.3.2

Вынесем множитель

3

$3$ из

9

$9$ .

[\begin{matrix} - \frac{5}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot (3 (3)) - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot (3 (3)) \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.3.3

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 3) \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.3.4

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 1 \cdot 3 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.4

Умножим

$- 1$ на

$3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.5

Умножим

$- \frac{1}{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим

$2$ на

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - 2 (\frac{1}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.5.2

Объединим

$- 2$ и

$\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ \frac{- 2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.7

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в

$- \frac{1}{3}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.7.2

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.7.3

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{2}{3} & - 1 \end{array}]$