Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 3 & - 9 \\ - 2 & 5 \end{array}]$

Этап 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Этап 2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 5 - (- 2 \cdot - 9)$

Этап 2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $3$ на $5$ .

$15 - (- 2 \cdot - 9)$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- (- 2 \cdot - 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Умножим $- 2$ на $- 9$ .

$15 - 1 \cdot 18$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $18$ .

$15 - 18$

Этап 2.2.2

Вычтем $18$ из $15$ .

$- 3$

Этап 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 3} [\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Этап 5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3} [\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Этап 6

Умножим $- \frac{1}{3}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot 5 & - \frac{1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- \frac{1}{3} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 (\frac{1}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.1.2

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 5}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.3.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot (3 (3)) \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.3.3

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 3) \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.3.4

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 1 \cdot 3 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.5

Умножим $- \frac{1}{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - 2 (\frac{1}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.5.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ \frac{- 2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.7.2

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.7.3

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{2}{3} & - 1 \end{array}]$