Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{array}]$

Этап 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Этап 2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 8 - 6 \cdot 4$

Этап 2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $2$ на $8$ .

$16 - 6 \cdot 4$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 6$ на $4$ .

$16 - 24$

Этап 2.2.2

Вычтем $24$ из $16$ .

$- 8$

Этап 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 8} [\begin{array}{c} 8 & - 4 \\ - 6 & 2 \end{array}]$

Этап 5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{8} [\begin{array}{c} 8 & - 4 \\ - 6 & 2 \end{array}]$

Этап 6

Умножим $- \frac{1}{8}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8} \cdot 8 & - \frac{1}{8} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 7

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{8}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{8} \cdot 8 & - \frac{1}{8} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 7.1.2

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{8} \cdot 8 & - \frac{1}{8} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 7.1.3

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} - 1 & - \frac{1}{8} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{8}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- 1}{8} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 7.2.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- 1}{4 (2)} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 7.2.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 7.2.4

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 7.2.5

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- 1}{2} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 7.3

Объединим $\frac{- 1}{2}$ и $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- - 1}{2} \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 7.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 7.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{8}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 7.5.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{2 (4)} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 7.5.3

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 3) & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 7.5.4

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 3) & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 7.5.5

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{4} \cdot - 3 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 7.6

Объединим $\frac{- 1}{4}$ и $- 3$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- - 3}{4} & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 7.7

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 7.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{8}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & \frac{- 1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 7.8.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & \frac{- 1}{2 (4)} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 7.8.3

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 7.8.4

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & \frac{- 1}{4} \end{array}]$

Этап 7.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} \end{array}]$