Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 5 x & - 4 y \\ 6 x & - 5 y \end{array}]$

Этап 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Этап 2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 x (- 5 y) - 6 x (- 4 y)$

Этап 2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 \cdot - 5 x y - 6 x (- 4 y)$

Этап 2.2.1.2

Умножим $5$ на $- 5$ .

$- 25 x y - 6 x (- 4 y)$

Этап 2.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 25 x y - 6 \cdot - 4 x y$

Этап 2.2.1.4

Умножим $- 6$ на $- 4$ .

$- 25 x y + 24 x y$

Этап 2.2.2

Добавим $- 25 x y$ и $24 x y$ .

$- x y$

Этап 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- x y} [\begin{array}{c} - 5 y & 4 y \\ - 6 x & 5 x \end{array}]$

Этап 5

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- x y} [\begin{array}{c} - 5 y & 4 y \\ - 6 x & 5 x \end{array}]$

Этап 5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x y} [\begin{array}{c} - 5 y & 4 y \\ - 6 x & 5 x \end{array}]$

Этап 6

Умножим $- \frac{1}{x y}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{x y} (- 5 y) & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x y}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{x y} (- 5 y) & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{y x} (- 5 y) & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $y$ из $- 5 y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{y x} (y \cdot - 5) & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.1.4

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{y x} (y \cdot - 5) & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.1.5

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{x} \cdot - 5 & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.2

Объединим $\frac{- 1}{x}$ и $- 5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 5}{x} & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.3

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x y}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.4.2

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1}{y x} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.4.3

Вынесем множитель $y$ из $4 y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1}{y x} (y \cdot 4) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.4.4

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1}{y x} (y \cdot 4) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.4.5

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1}{x} \cdot 4 \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.5

Объединим $\frac{- 1}{x}$ и $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1 \cdot 4}{x} \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.6

Умножим $- 1$ на $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 4}{x} \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.8

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x y}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- 1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.8.2

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- 1}{x (y)} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.8.3

Вынесем множитель $x$ из $- 6 x$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- 1}{x (y)} (x \cdot - 6) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.8.4

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- 1}{x y} (x \cdot - 6) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.8.5

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- 1}{y} \cdot - 6 & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.9

Объединим $\frac{- 1}{y}$ и $- 6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- - 6}{y} & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.10

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.11

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x y}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.11.2

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1}{x (y)} (5 x) \end{array}]$

Этап 7.11.3

Вынесем множитель $x$ из $5 x$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1}{x (y)} (x \cdot 5) \end{array}]$

Этап 7.11.4

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1}{x y} (x \cdot 5) \end{array}]$

Этап 7.11.5

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1}{y} \cdot 5 \end{array}]$

Этап 7.12

Объединим $\frac{- 1}{y}$ и $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1 \cdot 5}{y} \end{array}]$

Этап 7.13

Умножим $- 1$ на $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 5}{y} \end{array}]$

Этап 7.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & - \frac{5}{y} \end{array}]$