Линейная алгебра Примеры

${[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]}^{3}$

Этап 1

To evaluate a square matrix to a positive integer power $n$ , multiply $n$ copies of the matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]$

Этап 2

Умножим $[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Этап 2.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 & 1 \cdot - 2 - 2 \cdot - 4 \\ 3 \cdot 1 - 4 \cdot 3 & 3 \cdot - 2 - 4 \cdot - 4 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]$

Этап 2.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$[\begin{array}{c} - 5 & 6 \\ - 9 & 10 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]$

Этап 3

Умножим $[\begin{array}{c} - 5 & 6 \\ - 9 & 10 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Этап 3.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$[\begin{array}{c} - 5 \cdot 1 + 6 \cdot 3 & - 5 \cdot - 2 + 6 \cdot - 4 \\ - 9 \cdot 1 + 10 \cdot 3 & - 9 \cdot - 2 + 10 \cdot - 4 \end{array}]$

Этап 3.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$[\begin{array}{c} 13 & - 14 \\ 21 & - 22 \end{array}]$

Этап 4

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$13 \cdot - 22 - 21 \cdot - 14$

Этап 5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $13$ на $- 22$ .

$- 286 - 21 \cdot - 14$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 21$ на $- 14$ .

$- 286 + 294$

Этап 5.2.2

Добавим $- 286$ и $294$ .

$8$

Этап 6

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 7

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{8} [\begin{array}{c} - 22 & 14 \\ - 21 & 13 \end{array}]$

Этап 8

Умножим $\frac{1}{8}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{8} \cdot - 22 & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Этап 9

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (4)} \cdot - 22 & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Этап 9.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 22$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 11) & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Этап 9.1.3

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 11) & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Этап 9.1.4

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} \cdot - 11 & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Этап 9.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 11$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 11}{4} & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Этап 9.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Этап 9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{1}{2 (4)} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Этап 9.4.2

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot 7) \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Этап 9.4.3

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot 7) \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Этап 9.4.4

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{1}{4} \cdot 7 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Этап 9.5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $7$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{7}{4} \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Этап 9.6

Объединим $\frac{1}{8}$ и $- 21$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{7}{4} \\ \frac{- 21}{8} & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Этап 9.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{7}{4} \\ - \frac{21}{8} & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Этап 9.8

Объединим $\frac{1}{8}$ и $13$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{7}{4} \\ - \frac{21}{8} & \frac{13}{8} \end{array}]$