Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} x & 0 & \frac{1}{x} \\ 1 & 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array}]$

Этап 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Этап 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Этап 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Этап 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Этап 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Этап 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$\frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Этап 1.9

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Этап 2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$ .

$x | \begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Этап 3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (0 \frac{2}{x^{3}} - 2 x (- \frac{1}{x^{2}})) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Этап 3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $0$ на $\frac{2}{x^{3}}$ .

$x (0 - 2 x (- \frac{1}{x^{2}})) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{2}}$ в числитель.

$x (0 - 2 x \frac{- 1}{x^{2}}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Этап 3.2.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$x (0 + x \cdot - 2 \frac{- 1}{x^{2}}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Этап 3.2.1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x (0 + x \cdot - 2 \frac{- 1}{x \cdot x}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Этап 3.2.1.2.4

Сократим общий множитель.

$x (0 + x \cdot - 2 \frac{- 1}{x \cdot x}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Этап 3.2.1.2.5

Перепишем это выражение.

$x (0 - 2 \frac{- 1}{x}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Этап 3.2.1.3

Объединим $- 2$ и $\frac{- 1}{x}$ .

$x (0 + \frac{- 2 \cdot - 1}{x}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$x (0 + \frac{2}{x}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Этап 3.2.2

Добавим $0$ и $\frac{2}{x}$ .

$x \frac{2}{x} + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Этап 4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x \frac{2}{x} + 0 + \frac{1}{x} (1 (2 x) + 0 \cdot 0)$

Этап 4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $2 x$ на $1$ .

$x \frac{2}{x} + 0 + \frac{1}{x} (2 x + 0 \cdot 0)$

Этап 4.2.1.2

Умножим $0$ на $0$ .

$x \frac{2}{x} + 0 + \frac{1}{x} (2 x + 0)$

Этап 4.2.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$x \frac{2}{x} + 0 + \frac{1}{x} (2 x)$

Этап 5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $x \frac{2}{x}$ и $0$ .

$x \frac{2}{x} + \frac{1}{x} (2 x)$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$x \frac{2}{x} + \frac{1}{x} (2 x)$

Этап 5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 + \frac{1}{x} (2 x)$

Этап 5.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 + 2 \frac{1}{x} x$

Этап 5.2.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{x}$ .

$2 + \frac{2}{x} x$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$2 + \frac{2}{x} x$

Этап 5.2.4.2

Перепишем это выражение.

$2 + 2$

Этап 5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$4$