Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} x & x^{2} & \frac{1}{x} \\ 1 & 2 x & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & 2 & \frac{2}{x^{3}} \end{array}]$

Этап 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 x & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Этап 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} 2 x & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Этап 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Этап 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Этап 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Этап 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$\frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Этап 1.9

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} 2 x & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Этап 2

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 x & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (2 x \frac{2}{x^{3}} - 2 (- \frac{1}{x^{2}})) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Этап 2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$x (x \cdot 2 \frac{2}{x^{3}} - 2 (- \frac{1}{x^{2}})) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Этап 2.2.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x (x \cdot 2 \frac{2}{x \cdot x^{2}} - 2 (- \frac{1}{x^{2}})) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Этап 2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

Этап 2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$x (2 \frac{2}{x^{2}} - 2 (- \frac{1}{x^{2}})) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Этап 2.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{2}{x^{2}}$ .

$x (\frac{2 \cdot 2}{x^{2}} - 2 (- \frac{1}{x^{2}})) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Этап 2.2.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$x (\frac{4}{x^{2}} - 2 (- \frac{1}{x^{2}})) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Этап 2.2.1.4

Умножим $- 2 (- \frac{1}{x^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$x (\frac{4}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{2}}) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Этап 2.2.1.4.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x (\frac{4}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Этап 2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x \frac{4 + 2}{x^{2}} - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Этап 2.2.3

Добавим $4$ и $2$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Этап 3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} (1 \frac{2}{x^{3}} + 0 (- \frac{1}{x^{2}})) + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Этап 3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $\frac{2}{x^{3}}$ на $1$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} (\frac{2}{x^{3}} + 0 (- \frac{1}{x^{2}})) + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Этап 3.2.1.2

Умножим $0 (- \frac{1}{x^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} (\frac{2}{x^{3}} + 0 \frac{1}{x^{2}}) + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} (\frac{2}{x^{3}} + 0) + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Этап 3.2.2

Добавим $\frac{2}{x^{3}}$ и $0$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Этап 4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} (1 \cdot 2 + 0 (2 x))$

Этап 4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} (2 + 0 (2 x))$

Этап 4.2.1.2

Умножим $0 (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} (2 + 0 x)$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $0$ на $x$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} (2 + 0)$

Этап 4.2.2

Добавим $2$ и $0$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Этап 5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \frac{6}{x \cdot x} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Этап 5.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x \frac{6}{x \cdot x} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Этап 5.1.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{x} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Этап 5.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\frac{6}{x} + x^{2} \cdot - 1 \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Этап 5.1.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$\frac{6}{x} + x^{2} \cdot - 1 \frac{2}{x^{2} x} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Этап 5.1.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{x} + x^{2} \cdot - 1 \frac{2}{x^{2} x} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Этап 5.1.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{x} - 1 \frac{2}{x} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Этап 5.1.3

Перепишем $- 1 \frac{2}{x}$ в виде $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{6}{x} - \frac{2}{x} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Этап 5.1.4

Объединим $\frac{1}{x}$ и $2$ .

$\frac{6}{x} - \frac{2}{x} + \frac{2}{x}$

Этап 5.2

Объединим противоположные члены в $\frac{6}{x} - \frac{2}{x} + \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $- \frac{2}{x}$ и $\frac{2}{x}$ .

$\frac{6}{x} + 0$

Этап 5.2.2

Добавим $\frac{6}{x}$ и $0$ .

$\frac{6}{x}$