Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & x \end{array}]$

Этап 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

Этап 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

Этап 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

Этап 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$\frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

Этап 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Этап 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Этап 1.9

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Этап 2

Найдем значение $| \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x \cdot x - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x (x^{2} - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Этап 2.2.2

Умножим $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (x^{2} - (1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{6})) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\frac{1}{6}$ на $1$ .

$x (x^{2} - (\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6})) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Этап 2.2.2.3

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{1}{6}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{6 \cdot 6}) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Этап 2.2.2.4

Умножим $6$ на $6$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Этап 3

Найдем значение $| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{1}{6} x - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{6}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Этап 3.2.2

Умножим $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - (1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{6})) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Этап 3.2.2.2

Умножим $\frac{1}{6}$ на $1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - (\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6})) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Этап 3.2.2.3

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{1}{6}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6}) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Этап 3.2.2.4

Умножим $6$ на $6$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Этап 4

Найдем значение $| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}) - (- \frac{1}{6} x))$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{6} - (- \frac{1}{6} x))$

Этап 4.2.1.2

Умножим $\frac{1}{6}$ на $1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - (- \frac{1}{6} x))$

Этап 4.2.1.3

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{1}{6}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{6 \cdot 6} - (- \frac{1}{6} x))$

Этап 4.2.1.4

Умножим $6$ на $6$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} - (- \frac{1}{6} x))$

Этап 4.2.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{6}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} - - \frac{x}{6})$

Этап 4.2.3

Умножим $- - \frac{x}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + 1 \frac{x}{6})$

Этап 4.2.3.2

Умножим $\frac{x}{6}$ на $1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Этап 5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x^{2} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Этап 5.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Этап 5.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 2} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Этап 5.1.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{3} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Этап 5.1.3

Объединим $x$ и $\frac{1}{36}$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Этап 5.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} - \frac{x}{36} + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6}) + \frac{1}{6} (- \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Этап 5.1.5

Умножим $\frac{1}{6} (- \frac{x}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{x}{6}$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{6 \cdot 6} + \frac{1}{6} (- \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Этап 5.1.5.2

Умножим $6$ на $6$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} + \frac{1}{6} (- \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Этап 5.1.6

Умножим $\frac{1}{6} (- \frac{1}{36})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{1}{36}$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{6 \cdot 36} - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Этап 5.1.6.2

Умножим $6$ на $36$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Этап 5.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{36} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$

Этап 5.1.8

Умножим $- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{36}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Умножим $\frac{1}{36}$ на $\frac{1}{6}$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{36 \cdot 6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$

Этап 5.1.8.2

Умножим $36$ на $6$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{216} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$

Этап 5.1.9

Умножим $- \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.1

Умножим $\frac{x}{6}$ на $\frac{1}{6}$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{216} - \frac{x}{6 \cdot 6}$

Этап 5.1.9.2

Умножим $6$ на $6$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{216} - \frac{x}{36}$

Этап 5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{3} + \frac{- x - x - x}{36} + \frac{- 1 - 1}{216}$

Этап 5.3

Вычтем $x$ из $- x$ .

$x^{3} + \frac{- 2 x - x}{36} + \frac{- 1 - 1}{216}$

Этап 5.4

Вычтем $x$ из $- 2 x$ .

$x^{3} + \frac{- 3 x}{36} + \frac{- 1 - 1}{216}$

Этап 5.5

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$x^{3} + \frac{- 3 x}{36} + \frac{- 2}{216}$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Сократим общий множитель $- 3$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$x^{3} + \frac{3 (- x)}{36} + \frac{- 2}{216}$

Этап 5.6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $36$ .

$x^{3} + \frac{3 (- x)}{3 (12)} + \frac{- 2}{216}$

Этап 5.6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{3} + \frac{3 (- x)}{3 \cdot 12} + \frac{- 2}{216}$

Этап 5.6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{3} + \frac{- x}{12} + \frac{- 2}{216}$

Этап 5.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{- 2}{216}$

Этап 5.6.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $216$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{2 (- 1)}{216}$

Этап 5.6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $216$ .

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 108}$

Этап 5.6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 108}$

Этап 5.6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{108}$

Этап 5.6.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{3} - \frac{x}{12} - \frac{1}{108}$