Линейная алгебра Примеры

[\begin{matrix} - e^{t} & 1 e^{t} & e^{- t} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - e^{t} & 1 \\ e^{t} & e^{- t} \end{array}]$

Этап 1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Этап 2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- e^{t} e^{- t} - e^{t} \cdot 1

$- e^{t} e^{- t} - e^{t} \cdot 1$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим

e^{t}

$e^{t}$ на

e^{- t}

$e^{- t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перенесем

e^{- t}

$e^{- t}$ .

- (e^{- t} e^{t}) - e^{t} \cdot 1

$- (e^{- t} e^{t}) - e^{t} \cdot 1$

Этап 2.2.1.2

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

- e^{- t + t} - e^{t} \cdot 1

$- e^{- t + t} - e^{t} \cdot 1$

Этап 2.2.1.3

Добавим

- t

$- t$ и

t

$t$ .

- e^{0} - e^{t} \cdot 1

$- e^{0} - e^{t} \cdot 1$

- e^{0} - e^{t} \cdot 1

$- e^{0} - e^{t} \cdot 1$

Этап 2.2.2

Упростим

- e^{0}

$- e^{0}$ .

- 1 - e^{t} \cdot 1

$- 1 - e^{t} \cdot 1$

Этап 2.2.3

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

- 1 - e^{t}

$- 1 - e^{t}$

- 1 - e^{t}

$- 1 - e^{t}$

- 1 - e^{t}

$- 1 - e^{t}$

Этап 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{- 1 - e^{t}} [\begin{matrix} e^{- t} & - 1 - e^{t} & - e^{t} \end{matrix}]

$\frac{1}{- 1 - e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Этап 5

Перепишем

- 1

$- 1$ в виде

- 1 (1)

$- 1 (1)$ .

\frac{1}{- 1 (1) - e^{t}} [\begin{matrix} e^{- t} & - 1 - e^{t} & - e^{t} \end{matrix}]

$\frac{1}{- 1 (1) - e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Этап 6

Вынесем множитель

- 1

$- 1$ из

- e^{t}

$- e^{t}$ .

\frac{1}{- 1 (1) - (e^{t})} [\begin{matrix} e^{- t} & - 1 - e^{t} & - e^{t} \end{matrix}]

$\frac{1}{- 1 (1) - (e^{t})} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Этап 7

Вынесем множитель

- 1

$- 1$ из

- 1 (1) - (e^{t})

$- 1 (1) - (e^{t})$ .

\frac{1}{- 1 (1 + e^{t})} [\begin{matrix} e^{- t} & - 1 - e^{t} & - e^{t} \end{matrix}]

$\frac{1}{- 1 (1 + e^{t})} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

- \frac{1}{1 + e^{t}} [\begin{matrix} e^{- t} & - 1 - e^{t} & - e^{t} \end{matrix}]

$- \frac{1}{1 + e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Этап 9

Умножим

- \frac{1}{1 + e^{t}}

$- \frac{1}{1 + e^{t}}$ на каждый элемент матрицы.

[\begin{matrix} - \frac{1}{1 + e^{t}} e^{- t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{1 + e^{t}} e^{- t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Этап 10

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим

e^{- t}

$e^{- t}$ и

\frac{1}{1 + e^{t}}

$\frac{1}{1 + e^{t}}$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Этап 10.2

Умножим

- \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1

$- \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & 1 \frac{1}{1 + e^{t}} - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & 1 \frac{1}{1 + e^{t}} \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Этап 10.2.2

Умножим

\frac{1}{1 + e^{t}}

$\frac{1}{1 + e^{t}}$ на

1

$1$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Этап 10.3

Умножим

- \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t})

$- \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ 1 \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Этап 10.3.2

Умножим

$\frac{1}{1 + e^{t}}$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Этап 10.3.3

Объединим

$\frac{1}{1 + e^{t}}$ и

$e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Этап 10.4

Умножим

$- \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & 1 \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} \end{array}]$

Этап 10.4.2

Умножим

$\frac{1}{1 + e^{t}}$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} \end{array}]$

Этап 10.4.3

Объединим

$\frac{1}{1 + e^{t}}$ и

$e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} \end{array}]$