Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} - e^{t} & 1 \\ e^{t} & e^{- t} \end{array}]$

Этап 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Этап 2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- e^{t} e^{- t} - e^{t} \cdot 1$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $e^{t}$ на $e^{- t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перенесем $e^{- t}$ .

$- (e^{- t} e^{t}) - e^{t} \cdot 1$

Этап 2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- e^{- t + t} - e^{t} \cdot 1$

Этап 2.2.1.3

Добавим $- t$ и $t$ .

$- e^{0} - e^{t} \cdot 1$

Этап 2.2.2

Упростим $- e^{0}$ .

$- 1 - e^{t} \cdot 1$

Этап 2.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 - e^{t}$

Этап 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 1 - e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Этап 5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{1}{- 1 (1) - e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Этап 6

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{t}$ .

$\frac{1}{- 1 (1) - (e^{t})} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Этап 7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (e^{t})$ .

$\frac{1}{- 1 (1 + e^{t})} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{1 + e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Этап 9

Умножим $- \frac{1}{1 + e^{t}}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{1 + e^{t}} e^{- t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Этап 10

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $e^{- t}$ и $\frac{1}{1 + e^{t}}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Этап 10.2

Умножим $- \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & 1 \frac{1}{1 + e^{t}} \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Этап 10.2.2

Умножим $\frac{1}{1 + e^{t}}$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Этап 10.3

Умножим $- \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ 1 \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Этап 10.3.2

Умножим $\frac{1}{1 + e^{t}}$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Этап 10.3.3

Объединим $\frac{1}{1 + e^{t}}$ и $e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Этап 10.4

Умножим $- \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & 1 \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} \end{array}]$

Этап 10.4.2

Умножим $\frac{1}{1 + e^{t}}$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} \end{array}]$

Этап 10.4.3

Объединим $\frac{1}{1 + e^{t}}$ и $e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} \end{array}]$