Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]$

Этап 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Этап 2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Этап 2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot 1$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - 1$

Этап 2.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Этап 2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Этап 2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1 - 2}{2}$

Этап 2.2.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Этап 2.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2}$

Этап 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Этап 5

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Этап 5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{\frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Этап 6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (1 \cdot 2) [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Этап 7

Умножим $- (1 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $2$ на $1$ .

$- 1 \cdot 2 [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Этап 7.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Этап 8

Умножим $- 2$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot - 1 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Этап 9

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot - 1 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Этап 9.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Этап 9.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Этап 9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & 2 (- 1) \frac{1}{2} \end{array}]$

Этап 9.4.2

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \end{array}]$

Этап 9.4.3

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & - 1 \end{array}]$