Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 4 - x & - 2 & 0 \\ - 3 & 7 - x & 0 \\ 5 & 7 & 3 - x \end{array}]$

Этап 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $3$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.3

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 7 - x \\ 5 & 7 \end{array} |$

Этап 1.4

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 7 - x \\ 5 & 7 \end{array} |$

Этап 1.5

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ 5 & 7 \end{array} |$

Этап 1.6

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ 5 & 7 \end{array} |$

Этап 1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$

Этап 1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$(3 - x) | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$

Этап 1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 7 - x \\ 5 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ 5 & 7 \end{array} | + (3 - x) | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$

Этап 2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} - 3 & 7 - x \\ 5 & 7 \end{array} |$ .

$0 + 0 | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ 5 & 7 \end{array} | + (3 - x) | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$

Этап 3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ 5 & 7 \end{array} |$ .

$0 + 0 + (3 - x) | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$

Этап 4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 0 + (3 - x) ((4 - x) (7 - x) - (- 3 \cdot - 2))$

Этап 4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Развернем $(4 - x) (7 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 + 0 + (3 - x) (4 (7 - x) - x (7 - x) - (- 3 \cdot - 2))$

Этап 4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$0 + 0 + (3 - x) (4 \cdot 7 + 4 (- x) - x (7 - x) - (- 3 \cdot - 2))$

Этап 4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$0 + 0 + (3 - x) (4 \cdot 7 + 4 (- x) - x \cdot 7 - x (- x) - (- 3 \cdot - 2))$

Этап 4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1.1

Умножим $4$ на $7$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 + 4 (- x) - x \cdot 7 - x (- x) - (- 3 \cdot - 2))$

Этап 4.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - x \cdot 7 - x (- x) - (- 3 \cdot - 2))$

Этап 4.2.1.2.1.3

Умножим $7$ на $- 1$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x - x (- x) - (- 3 \cdot - 2))$

Этап 4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - (- 3 \cdot - 2))$

Этап 4.2.1.2.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - (- 3 \cdot - 2))$

Этап 4.2.1.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x - 1 \cdot - 1 x^{2} - (- 3 \cdot - 2))$

Этап 4.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x + 1 x^{2} - (- 3 \cdot - 2))$

Этап 4.2.1.2.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x + x^{2} - (- 3 \cdot - 2))$

Этап 4.2.1.2.2

Вычтем $7 x$ из $- 4 x$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 11 x + x^{2} - (- 3 \cdot - 2))$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- (- 3 \cdot - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 11 x + x^{2} - 1 \cdot 6)$

Этап 4.2.1.3.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 11 x + x^{2} - 6)$

Этап 4.2.2

Вычтем $6$ из $28$ .

$0 + 0 + (3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$

Этап 5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим противоположные члены в $0 + 0 + (3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + (3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$

Этап 5.1.2

Добавим $0$ и $(3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$ .

$(3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$

Этап 5.2

Развернем $(3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$3 (- 11 x) + 3 x^{2} + 3 \cdot 22 - x (- 11 x) - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Этап 5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $- 11$ на $3$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 3 \cdot 22 - x (- 11 x) - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Этап 5.3.2

Умножим $3$ на $22$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 - x (- 11 x) - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Этап 5.3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 - 1 \cdot - 11 x \cdot x - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Этап 5.3.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Перенесем $x$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 - 1 \cdot - 11 (x \cdot x) - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Этап 5.3.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 - 1 \cdot - 11 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Этап 5.3.5

Умножим $- 1$ на $- 11$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Этап 5.3.6

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - (x^{2} x) - x \cdot 22$

Этап 5.3.6.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - (x^{2} x^{1}) - x \cdot 22$

Этап 5.3.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - x^{2 + 1} - x \cdot 22$

Этап 5.3.6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - x^{3} - x \cdot 22$

Этап 5.3.7

Умножим $22$ на $- 1$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - x^{3} - 22 x$

Этап 5.4

Вычтем $22 x$ из $- 33 x$ .

$3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - x^{3} - 55 x$

Этап 5.5

Добавим $3 x^{2}$ и $11 x^{2}$ .

$14 x^{2} + 66 - x^{3} - 55 x$