Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} p & 1 & 1 \\ q & 1 & q \\ 1 & 1 & p \end{array}]$

Этап 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} |$

Этап 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$p | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} |$

Этап 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} |$

Этап 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} |$

Этап 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Этап 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Этап 1.9

Add the terms together.

$p | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} | - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Этап 2

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (1 p - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Этап 2.2

Умножим $p$ на $1$ .

$p (p - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Этап 3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (p - q) - q (1 p - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $p$ на $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Этап 3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Этап 4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 (1 q - 1 \cdot 1)$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $q$ на $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 (q - 1 \cdot 1)$

Этап 4.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Этап 5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p \cdot p + p (- q) - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Этап 5.1.2

Умножим $p$ на $p$ .

$p^{2} + p (- q) - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Этап 5.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p^{2} - p q - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Этап 5.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$p^{2} - p q - q p - q \cdot - 1 + 1 (q - 1)$

Этап 5.1.5

Умножим $- q \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p^{2} - p q - q p + 1 q + 1 (q - 1)$

Этап 5.1.5.2

Умножим $q$ на $1$ .

$p^{2} - p q - q p + q + 1 (q - 1)$

Этап 5.1.6

Умножим $q - 1$ на $1$ .

$p^{2} - p q - q p + q + q - 1$

Этап 5.2

Вычтем $q p$ из $- p q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перенесем $q$ .

$p^{2} - p q - 1 p q + q + q - 1$

Этап 5.2.2

Вычтем $p q$ из $- p q$ .

$p^{2} - 2 p q + q + q - 1$

Этап 5.3

Добавим $q$ и $q$ .

$p^{2} - 2 p q + 2 q - 1$