Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 2 q - 1 & 1 & 1 \\ q & 1 & q \\ 1 & 1 & 2 q - 1 \end{array}]$

Этап 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Этап 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 q - 1) | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Этап 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Этап 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Этап 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Этап 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Этап 1.9

Add the terms together.

$(2 q - 1) | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Этап 2

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(2 q - 1) (1 (2 q - 1) - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Этап 2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $2 q - 1$ на $1$ .

$(2 q - 1) (2 q - 1 - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Этап 2.2.2

Вычтем $q$ из $2 q$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Этап 3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (1 (2 q - 1) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Этап 3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $2 q - 1$ на $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 1 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Этап 3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 1 - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Этап 3.2.2

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Этап 4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (1 q - 1 \cdot 1)$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $q$ на $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1 \cdot 1)$

Этап 4.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Этап 5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Развернем $(2 q - 1) (q - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 q (q - 1) - 1 (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Этап 5.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 q \cdot q + 2 q \cdot - 1 - 1 (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Этап 5.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 q \cdot q + 2 q \cdot - 1 - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Этап 5.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Умножим $q$ на $q$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1.1

Перенесем $q$ .

$2 (q \cdot q) + 2 q \cdot - 1 - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Этап 5.1.2.1.1.2

Умножим $q$ на $q$ .

$2 q^{2} + 2 q \cdot - 1 - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Этап 5.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 q^{2} - 2 q - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Этап 5.1.2.1.3

Перепишем $- 1 q$ в виде $- q$ .

$2 q^{2} - 2 q - q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Этап 5.1.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 q^{2} - 2 q - q + 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Этап 5.1.2.2

Вычтем $q$ из $- 2 q$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 q^{2} - 3 q + 1 - q (2 q) - q \cdot - 2 + 1 (q - 1)$

Этап 5.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 q \cdot q - q \cdot - 2 + 1 (q - 1)$

Этап 5.1.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 q \cdot q + 2 q + 1 (q - 1)$

Этап 5.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Умножим $q$ на $q$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1.1

Перенесем $q$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 (q \cdot q) + 2 q + 1 (q - 1)$

Этап 5.1.6.1.2

Умножим $q$ на $q$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 q^{2} + 2 q + 1 (q - 1)$

Этап 5.1.6.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 2 q^{2} + 2 q + 1 (q - 1)$

Этап 5.1.7

Умножим $q - 1$ на $1$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 2 q^{2} + 2 q + q - 1$

Этап 5.2

Объединим противоположные члены в $2 q^{2} - 3 q + 1 - 2 q^{2} + 2 q + q - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $2 q^{2}$ из $2 q^{2}$ .

$- 3 q + 1 + 0 + 2 q + q - 1$

Этап 5.2.2

Добавим $- 3 q + 1$ и $0$ .

$- 3 q + 1 + 2 q + q - 1$

Этап 5.2.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$- 3 q + 2 q + q + 0$

Этап 5.2.4

Добавим $- 3 q + 2 q + q$ и $0$ .

$- 3 q + 2 q + q$

Этап 5.3

Добавим $- 3 q$ и $2 q$ .

$- q + q$

Этап 5.4

Добавим $- q$ и $q$ .

$0$