Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 1 & x & x^{2} \\ 1 & x^{2} & x^{4} \\ 1 & x^{4} & x^{6} \end{array}]$

Этап 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x^{4} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$

Этап 1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- x | \begin{array}{c} 1 & x^{4} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$

Этап 1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$

Этап 1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$x^{2} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$

Этап 1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Этап 1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$- x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Этап 1.9

Add the terms together.

$- x | \begin{array}{c} 1 & x^{4} \\ 1 & x^{6} \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} | - x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Этап 2

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & x^{4} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- x (1 x^{6} - x^{4}) + x^{2} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} | - x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Этап 2.2

Умножим $x^{6}$ на $1$ .

$- x (x^{6} - x^{4}) + x^{2} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} | - x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Этап 3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- x (x^{6} - x^{4}) + x^{2} (1 x^{6} - x^{2}) - x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Этап 3.2

Умножим $x^{6}$ на $1$ .

$- x (x^{6} - x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Этап 4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- x (x^{6} - x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (1 x^{4} - x^{2})$

Этап 4.2

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$- x (x^{6} - x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Этап 5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x \cdot x^{6} - x (- x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Этап 5.1.2

Умножим $x$ на $x^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Перенесем $x^{6}$ .

$- (x^{6} x) - x (- x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Этап 5.1.2.2

Умножим $x^{6}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- (x^{6} x^{1}) - x (- x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Этап 5.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{6 + 1} - x (- x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Этап 5.1.2.3

Добавим $6$ и $1$ .

$- x^{7} - x (- x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Этап 5.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x^{7} - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{4} + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Этап 5.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1.1

Перенесем $x^{4}$ .

$- x^{7} - 1 \cdot - 1 (x^{4} x) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Этап 5.1.4.1.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- x^{7} - 1 \cdot - 1 (x^{4} x^{1}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Этап 5.1.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{7} - 1 \cdot - 1 x^{4 + 1} + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Этап 5.1.4.1.3

Добавим $4$ и $1$ .

$- x^{7} - 1 \cdot - 1 x^{5} + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Этап 5.1.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- x^{7} + 1 x^{5} + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Этап 5.1.4.3

Умножим $x^{5}$ на $1$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Этап 5.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{7} + x^{5} + x^{2} x^{6} + x^{2} (- x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Этап 5.1.6

Умножим $x^{2}$ на $x^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{7} + x^{5} + x^{2 + 6} + x^{2} (- x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Этап 5.1.6.2

Добавим $2$ и $6$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} + x^{2} (- x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Этап 5.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{2} x^{2} - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Этап 5.1.8

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - (x^{2} x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Этап 5.1.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{2 + 2} - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Этап 5.1.8.3

Добавим $2$ и $2$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Этап 5.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{4} x^{4} - x^{4} (- x^{2})$

Этап 5.1.10

Умножим $x^{4}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.1

Перенесем $x^{4}$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - (x^{4} x^{4}) - x^{4} (- x^{2})$

Этап 5.1.10.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{4 + 4} - x^{4} (- x^{2})$

Этап 5.1.10.3

Добавим $4$ и $4$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} - x^{4} (- x^{2})$

Этап 5.1.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} - 1 \cdot - 1 x^{4} x^{2}$

Этап 5.1.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.12.1

Умножим $x^{4}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.12.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{4})$

Этап 5.1.12.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 4}$

Этап 5.1.12.1.3

Добавим $2$ и $4$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} - 1 \cdot - 1 x^{6}$

Этап 5.1.12.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} + 1 x^{6}$

Этап 5.1.12.3

Умножим $x^{6}$ на $1$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} + x^{6}$

Этап 5.2

Объединим противоположные члены в $- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} + x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $x^{8}$ из $x^{8}$ .

$- x^{7} + x^{5} - x^{4} + 0 + x^{6}$

Этап 5.2.2

Добавим $- x^{7} + x^{5} - x^{4}$ и $0$ .

$- x^{7} + x^{5} - x^{4} + x^{6}$