Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 1 & a & b + c \\ 1 & b & a + c \\ 1 & c & a + b \end{array}]$

Этап 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Этап 1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- a | \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Этап 1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Этап 1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Этап 1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Этап 1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$- c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Этап 1.9

Add the terms together.

$- a | \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} | + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Этап 2

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- a (1 (a + b) - (a + c)) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Этап 2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $a + b$ на $1$ .

$- a (a + b - (a + c)) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- a (a + b - a - c) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Этап 2.2.2

Объединим противоположные члены в $a + b - a - c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $a$ из $a$ .

$- a (b + 0 - c) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Этап 2.2.2.2

Добавим $b$ и $0$ .

$- a (b - c) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Этап 3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- a (b - c) + b (1 (a + b) - (b + c)) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Этап 3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $a + b$ на $1$ .

$- a (b - c) + b (a + b - (b + c)) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- a (b - c) + b (a + b - b - c) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Этап 3.2.2

Объединим противоположные члены в $a + b - b - c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $b$ из $b$ .

$- a (b - c) + b (a + 0 - c) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Этап 3.2.2.2

Добавим $a$ и $0$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Этап 4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (1 (a + c) - (b + c))$

Этап 4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $a + c$ на $1$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a + c - (b + c))$

Этап 4.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a + c - b - c)$

Этап 4.2.2

Объединим противоположные члены в $a + c - b - c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $c$ из $c$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a - b + 0)$

Этап 4.2.2.2

Добавим $a - b$ и $0$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a - b)$

Этап 5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- a b - a (- c) + b (a - c) - c (a - b)$

Этап 5.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- a b - 1 \cdot - 1 a c + b (a - c) - c (a - b)$

Этап 5.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- a b + 1 a c + b (a - c) - c (a - b)$

Этап 5.1.3.2

Умножим $a$ на $1$ .

$- a b + a c + b (a - c) - c (a - b)$

Этап 5.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- a b + a c + b a + b (- c) - c (a - b)$

Этап 5.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- a b + a c + b a - b c - c (a - b)$

Этап 5.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$- a b + a c + b a - b c - c a - c (- b)$

Этап 5.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- a b + a c + b a - b c - c a - 1 \cdot - 1 c b$

Этап 5.1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- a b + a c + b a - b c - c a + 1 c b$

Этап 5.1.8.2

Умножим $c$ на $1$ .

$- a b + a c + b a - b c - c a + c b$

Этап 5.2

Объединим противоположные члены в $- a b + a c + b a - b c - c a + c b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Изменим порядок множителей в членах $- a b$ и $b a$ .

$- a b + a c + a b - b c - c a + c b$

Этап 5.2.2

Добавим $- a b$ и $a b$ .

$a c + 0 - b c - c a + c b$

Этап 5.2.3

Добавим $a c$ и $0$ .

$a c - b c - c a + c b$

Этап 5.2.4

Изменим порядок множителей в членах $a c$ и $- c a$ .

$a c - b c - a c + c b$

Этап 5.2.5

Вычтем $a c$ из $a c$ .

$- b c + 0 + c b$

Этап 5.2.6

Добавим $- b c$ и $0$ .

$- b c + c b$

Этап 5.2.7

Изменим порядок множителей в членах $- b c$ и $c b$ .

$- b c + b c$

Этап 5.2.8

Добавим $- b c$ и $b c$ .

$0$