Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} a^{2} & a & 1 \\ b^{2} & b & 1 \\ c^{2} & c & 1 \end{array}]$

Этап 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} b & 1 \\ c & 1 \end{array} |$

Этап 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a^{2} | \begin{array}{c} b & 1 \\ c & 1 \end{array} |$

Этап 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} a & 1 \\ c & 1 \end{array} |$

Этап 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- b^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ c & 1 \end{array} |$

Этап 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Этап 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Этап 1.9

Add the terms together.

$a^{2} | \begin{array}{c} b & 1 \\ c & 1 \end{array} | - b^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ c & 1 \end{array} | + c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Этап 2

Найдем значение $| \begin{array}{c} b & 1 \\ c & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a^{2} (b \cdot 1 - c \cdot 1) - b^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ c & 1 \end{array} | + c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $b$ на $1$ .

$a^{2} (b - c \cdot 1) - b^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ c & 1 \end{array} | + c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Этап 2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$a^{2} (b - c) - b^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ c & 1 \end{array} | + c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Этап 3

Найдем значение $| \begin{array}{c} a & 1 \\ c & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a^{2} (b - c) - b^{2} (a \cdot 1 - c \cdot 1) + c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $a$ на $1$ .

$a^{2} (b - c) - b^{2} (a - c \cdot 1) + c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Этап 3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$a^{2} (b - c) - b^{2} (a - c) + c^{2} | \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$

Этап 4

Найдем значение $| \begin{array}{c} a & 1 \\ b & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a^{2} (b - c) - b^{2} (a - c) + c^{2} (a \cdot 1 - b \cdot 1)$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $a$ на $1$ .

$a^{2} (b - c) - b^{2} (a - c) + c^{2} (a - b \cdot 1)$

Этап 4.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$a^{2} (b - c) - b^{2} (a - c) + c^{2} (a - b)$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} b + a^{2} (- c) - b^{2} (a - c) + c^{2} (a - b)$

Этап 5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$a^{2} b - a^{2} c - b^{2} (a - c) + c^{2} (a - b)$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} b - a^{2} c - b^{2} a - b^{2} (- c) + c^{2} (a - b)$

Этап 5.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$a^{2} b - a^{2} c - b^{2} a - 1 \cdot - 1 b^{2} c + c^{2} (a - b)$

Этап 5.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$a^{2} b - a^{2} c - b^{2} a + 1 b^{2} c + c^{2} (a - b)$

Этап 5.5.2

Умножим $b^{2}$ на $1$ .

$a^{2} b - a^{2} c - b^{2} a + b^{2} c + c^{2} (a - b)$

Этап 5.6

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} b - a^{2} c - b^{2} a + b^{2} c + c^{2} a + c^{2} (- b)$

Этап 5.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$a^{2} b - a^{2} c - b^{2} a + b^{2} c + c^{2} a - c^{2} b$