Линейная алгебра Примеры

det

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \\ 3 & 7 & 8 \end{array}]$

Этап 1

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов

$0$ . Если элементов

$0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в строке

$1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией

$-$ на схеме знаков.

Этап 1.3

Минор для

$a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$1$ .

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 1.4

Умножим элемент

$a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

$3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Этап 1.5

Минор для

$a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$2$ .

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} |$

Этап 1.6

Умножим элемент

$a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

$- 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} |$

Этап 1.7

Минор для

$a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$3$ .

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Этап 1.8

Умножим элемент

$a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

$1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Этап 1.9

Сложим члены.

$3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Этап 2

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 (4 \cdot 8 - 7 \cdot 5) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Этап 2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим

$4$ на

$8$ .

$3 (32 - 7 \cdot 5) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Этап 2.2.1.2

Умножим

$- 7$ на

$5$ .

$3 (32 - 35) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Этап 2.2.2

Вычтем

$35$ из

$32$ .

$3 \cdot - 3 - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Этап 3

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (3 \cdot 8 - 3 \cdot 5) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Этап 3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим

$3$ на

$8$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (24 - 3 \cdot 5) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Этап 3.2.1.2

Умножим

$- 3$ на

$5$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (24 - 15) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Этап 3.2.2

Вычтем

$15$ из

$24$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Этап 4

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 (3 \cdot 7 - 3 \cdot 4)$

Этап 4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим

$3$ на

$7$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 (21 - 3 \cdot 4)$

Этап 4.2.1.2

Умножим

$- 3$ на

$4$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 (21 - 12)$

Этап 4.2.2

Вычтем

$12$ из

$21$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Этап 5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим

$3$ на

$- 3$ .

$- 9 - 2 \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Этап 5.1.2

Умножим

$- 2$ на

$9$ .

$- 9 - 18 + 1 \cdot 9$

Этап 5.1.3

Умножим

$9$ на

$1$ .

$- 9 - 18 + 9$

Этап 5.2

Вычтем

$18$ из

$- 9$ .

$- 27 + 9$

Этап 5.3

Добавим

$- 27$ и

$9$ .

$- 18$