Линейная алгебра Примеры

A = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x & 3 & x^{2} - 3 & 5 x & 0 4 & x^{3} & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$A = [\begin{array}{c} x & 3 & x^{2} \\ - 3 & 5 x & 0 \\ 4 & x^{3} & 1 \end{array}]$

Этап 1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

1

$1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Этап 1.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 x & 0 x^{3} & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$

Этап 1.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

x ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 x & 0 x^{3} & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x | \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$

Этап 1.5

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Этап 1.6

Multiply element

a_{12}

$a_{12}$ by its cofactor.

- 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Этап 1.7

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 1.8

Multiply element

a_{13}

$a_{13}$ by its cofactor.

x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 1.9

Add the terms together.

x ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 x & 0 x^{3} & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x | \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

x ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 x & 0 x^{3} & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x | \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 2

Найдем значение

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 x & 0 x^{3} & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

x (5 x \cdot 1 - x^{3} \cdot 0) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x (5 x \cdot 1 - x^{3} \cdot 0) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим

5

$5$ на

1

$1$ .

x (5 x - x^{3} \cdot 0) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x (5 x - x^{3} \cdot 0) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 2.2.1.2

Умножим

- x^{3} \cdot 0

$- x^{3} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$x (5 x + 0 x^{3}) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим

$0$ на

$x^{3}$ .

$x (5 x + 0) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 2.2.2

Добавим

$5 x$ и

$0$ .

$x (5 x) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 3

Найдем значение

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (5 x) - 3 (- 3 \cdot 1 - 4 \cdot 0) + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим

$- 3$ на

$1$ .

$x (5 x) - 3 (- 3 - 4 \cdot 0) + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 3.2.1.2

Умножим

$- 4$ на

$0$ .

$x (5 x) - 3 (- 3 + 0) + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 3.2.2

Добавим

$- 3$ и

$0$ .

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 4

Найдем значение

$| \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 4 (5 x))$

Этап 4.2

Умножим

$5$ на

$- 4$ .

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x \cdot x - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Этап 5.2

Умножим

$x$ на

$x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перенесем

$x$ .

$5 (x \cdot x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Этап 5.2.2

Умножим

$x$ на

$x$ .

$5 x^{2} - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Этап 5.3

Умножим

$- 3$ на

$- 3$ .

$5 x^{2} + 9 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 9 + x^{2} (- 3 x^{3}) + x^{2} (- 20 x)$

Этап 5.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 20 x)$

Этап 5.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{2} x^{3} - 20 x^{2} x$

Этап 5.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Умножим

$x^{2}$ на

$x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1

Перенесем

$x^{3}$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 (x^{3} x^{2}) - 20 x^{2} x$

Этап 5.7.1.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{3 + 2} - 20 x^{2} x$

Этап 5.7.1.3

Добавим

$3$ и

$2$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 x^{2} x$

Этап 5.7.2

Умножим

$x^{2}$ на

$x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Перенесем

$x$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 (x \cdot x^{2})$

Этап 5.7.2.2

Умножим

$x$ на

$x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1

Возведем

$x$ в степень

$1$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 (x^{1} x^{2})$

Этап 5.7.2.2.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 x^{1 + 2}$

Этап 5.7.2.3

Добавим

$1$ и

$2$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 x^{3}$