Линейная алгебра Примеры

$x + 3 y - 6 z = 7$ , $2 x - y + 2 z = 0$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 6 & 7 \\ 2 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 6 & 7 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 3 & 2 - 2 \cdot - 6 & 0 - 2 \cdot 7 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 6 & 7 \\ 0 & - 7 & 14 & - 14 \end{array}]$

Этап 2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 6 & 7 \\ - \frac{1}{7} \cdot 0 & - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot 14 & - \frac{1}{7} \cdot - 14 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 6 & 7 \\ 0 & 1 & - 2 & 2 \end{array}]$

Этап 2.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & - 6 - 3 \cdot - 2 & 7 - 3 \cdot 2 \\ 0 & 1 & - 2 & 2 \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 2 & 2 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x = 1$

$y - 2 z = 2$

Этап 4

Добавим $2 z$ к обеим частям уравнения.

$y = 2 + 2 z$

$x = 1$

Этап 5

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(1, 2 + 2 z, z)$

Этап 6

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 2 + 2 z \\ z \end{array}]$