Линейная алгебра Примеры

$a + 2 b = 1$ , $2 a + d = 2$ , $3 a + 2 b + d - g = 4$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & - 1 & 4 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 2 & 1 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 \\ 3 & 2 & 1 & - 1 & 4 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 4 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & - 1 & 4 \end{array}]$

Этап 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 4 & 1 & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 \cdot 2 & 1 - 3 \cdot 0 & - 1 - 3 \cdot 0 & 4 - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 1 & - 1 & 1 \end{array}]$

Этап 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot 1 & - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ 0 & - 4 & 1 & - 1 & 1 \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 1 & - 1 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & 1 + 4 (- \frac{1}{4}) & - 1 + 4 \cdot 0 & 1 + 4 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 2.4.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 1 \end{array}]$

Этап 2.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 4$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 4$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ - 0 & - 0 & - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 2.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 (- \frac{1}{4}) & 0 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 2.6.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$a + \frac{d}{2} = 1$

$b - \frac{d}{4} = 0$

$g = - 1$

Этап 4

Вычтем $\frac{d}{2}$ из обеих частей уравнения.

$a = 1 - \frac{d}{2}$

$b - \frac{d}{4} = 0$

$g = - 1$

Этап 5

Добавим $\frac{d}{4}$ к обеим частям уравнения.

$b = \frac{d}{4}$

$a = 1 - \frac{d}{2}$

$g = - 1$

Этап 6

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(1 - \frac{d}{2}, \frac{d}{4}, d, - 1)$

Этап 7

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \\ g \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 - \frac{d}{2} \\ \frac{d}{4} \\ d \\ - 1 \end{array}]$