Линейная алгебра Примеры

$a + 0 + 2 d - g = 1$ , $0 + 2 b + 6 d + 2 g = - 2$ , $2 a + 0 + 4 d - 2 g = 2$ , $a + b + 5 d + 0 = 0$

Этап 1

Добавим $a$ и $0$ .

$a + 2 d - g = 1, 0 + 2 b + 6 d + 2 g = - 2, 2 a + 0 + 4 d - 2 g = 2, a + b + 5 d + 0 = 0$

Этап 2

Добавим $0$ и $2 b$ .

$a + 2 d - g = 1, 2 b + 6 d + 2 g = - 2, 2 a + 0 + 4 d - 2 g = 2, a + b + 5 d + 0 = 0$

Этап 3

Добавим $2 a$ и $0$ .

$a + 2 d - g = 1, 2 b + 6 d + 2 g = - 2, 2 a + 4 d - 2 g = 2, a + b + 5 d + 0 = 0$

Этап 4

Добавим $a + b + 5 d$ и $0$ .

$a + 2 d - g = 1, 2 b + 6 d + 2 g = - 2, 2 a + 4 d - 2 g = 2, a + b + 5 d = 0$

Этап 5

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 & 2 & - 2 \\ 2 & 0 & 4 & - 2 & 2 \\ 1 & 1 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 6

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 & 2 & - 2 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 4 - 2 \cdot 2 & - 2 - 2 \cdot - 1 & 2 - 2 \cdot 1 \\ 1 & 1 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 6.1.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 & 2 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 6.2

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 & 2 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 0 & 5 - 2 & 0 + 1 & 0 - 1 \end{array}]$

Этап 6.2.2

Упростим $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 & 2 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 6.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{6}{2} & \frac{2}{2} & \frac{- 2}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 6.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 6.4

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 3 - 3 & 1 - 1 & - 1 + 1 \end{array}]$

Этап 6.4.2

Упростим $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 7

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$a + 2 d - g = 1$

$b + 3 d + g = - 1$

Этап 8

Перенесем все члены без $a$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $2 d$ из обеих частей уравнения.

$a - g = 1 - 2 d$

$b + 3 d + g = - 1$

Этап 8.2

Добавим $g$ к обеим частям уравнения.

$a = 1 - 2 d + g$

$b + 3 d + g = - 1$

$a = 1 - 2 d + g$

$b + 3 d + g = - 1$

Этап 9

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем $3 d$ из обеих частей уравнения.

$b + g = - 1 - 3 d$

$a = 1 - 2 d + g$

Этап 9.2

Вычтем $g$ из обеих частей уравнения.

$b = - 1 - 3 d - g$

$a = 1 - 2 d + g$

$b = - 1 - 3 d - g$

$a = 1 - 2 d + g$

Этап 10

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(1 - 2 d + g, - 1 - 3 d - g, d, g)$

Этап 11

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \\ g \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 - 2 d + g \\ - 1 - 3 d - g \\ d \\ g \end{array}]$