Линейная алгебра Примеры

$3 y = 9 x + 6$ , $3 x - y = - 2$

Этап 1

Вычтем $9 x$ из обеих частей уравнения.

$3 y - 9 x = 6, 3 x - y = - 2$

Этап 2

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} - 9 & 3 & 6 \\ 3 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Этап 3

Приведем к ступенчатому виду, чтобы исключить одну из переменных.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{9}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{9}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} \cdot - 9 & - \frac{1}{9} \cdot 3 & - \frac{1}{9} \cdot 6 \\ 3 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Этап 3.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{2}{3} \\ 3 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Этап 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{2}{3} \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 (- \frac{1}{3}) & - 2 - 3 (- \frac{2}{3}) \end{array}]$

Этап 3.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x - \frac{y}{3} = - \frac{2}{3}$

Этап 5

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{y}{3} = - \frac{2}{3} - x$

Этап 5.2

Умножим обе части уравнения на $- 3$ .

$- 3 (- \frac{y}{3}) = - 3 (- \frac{2}{3} - x)$

Этап 5.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Упростим $- 3 (- \frac{y}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{3}$ в числитель.

$- 3 \frac{- y}{3} = - 3 (- \frac{2}{3} - x)$

Этап 5.3.1.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- y}{3} = - 3 (- \frac{2}{3} - x)$

Этап 5.3.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot - 1 \frac{- y}{3} = - 3 (- \frac{2}{3} - x)$

Этап 5.3.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - y = - 3 (- \frac{2}{3} - x)$

Этап 5.3.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - 3 (- \frac{2}{3} - x)$

Этап 5.3.1.1.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - 3 (- \frac{2}{3} - x)$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим $- 3 (- \frac{2}{3} - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 3 (- \frac{2}{3}) - 3 (- x)$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3}$ в числитель.

$y = - 3 (\frac{- 2}{3}) - 3 (- x)$

Этап 5.3.2.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$y = 3 (- 1) \frac{- 2}{3} - 3 (- x)$

Этап 5.3.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$y = 3 \cdot - 1 \frac{- 2}{3} - 3 (- x)$

Этап 5.3.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$y = - - 2 - 3 (- x)$

Этап 5.3.2.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$y = 2 - 3 (- x)$

Этап 5.3.2.1.3.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$y = 2 + 3 x$

Этап 5.4

Изменим порядок $2$ и $3 x$ .

$y = 3 x + 2$

Этап 6

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(x, 3 x + 2)$

Этап 7

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 3 x + 2 \end{array}]$