Линейная алгебра Примеры

$7 x - 3 y = - 2$ , $x = \frac{3}{4} y + 1$

Этап 1

Объединим $\frac{3}{4}$ и $y$ .

$7 x - 3 y = - 2, x = \frac{3 y}{4} + 1$

Этап 2

Вычтем $\frac{3 y}{4}$ из обеих частей уравнения.

$7 x - 3 y = - 2, x - \frac{3 y}{4} = 1$

Этап 3

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 7 & - 3 & - 2 \\ 1 & - \frac{3}{4} & 1 \end{array}]$

Этап 4

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{7}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{7}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{7} & \frac{- 3}{7} & \frac{- 2}{7} \\ 1 & - \frac{3}{4} & 1 \end{array}]$

Этап 4.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{7} & - \frac{2}{7} \\ 1 & - \frac{3}{4} & 1 \end{array}]$

Этап 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{7} & - \frac{2}{7} \\ 1 - 1 & - \frac{3}{4} + \frac{3}{7} & 1 + \frac{2}{7} \end{array}]$

Этап 4.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{7} & - \frac{2}{7} \\ 0 & - \frac{9}{28} & \frac{9}{7} \end{array}]$

Этап 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{28}{9}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{28}{9}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{7} & - \frac{2}{7} \\ - \frac{28}{9} \cdot 0 & - \frac{28}{9} (- \frac{9}{28}) & - \frac{28}{9} \cdot \frac{9}{7} \end{array}]$

Этап 4.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{7} & - \frac{2}{7} \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]$

Этап 4.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{7} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{7} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} + \frac{3}{7} \cdot 1 & - \frac{2}{7} + \frac{3}{7} \cdot - 4 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]$

Этап 4.4.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]$

Этап 5

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x = - 2$

$y = - 4$

Этап 6

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(- 2, - 4)$

Этап 7

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ - 4 \end{array}]$