Линейная алгебра Примеры

$3 a + 21 = 5 b$ , $4 b + 6 = - 9 a$

Этап 1

Вычтем $21$ из обеих частей уравнения.

$3 a = 5 b - 21, 4 b + 6 = - 9 a$

Этап 2

Вычтем $5 b$ из обеих частей уравнения.

$3 a - 5 b = - 21, 4 b + 6 = - 9 a$

Этап 3

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$3 a - 5 b = - 21, 4 b = - 9 a - 6$

Этап 4

Добавим $9 a$ к обеим частям уравнения.

$3 a - 5 b = - 21, 4 b + 9 a = - 6$

Этап 5

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 3 & - 5 & - 21 \\ 9 & 4 & - 6 \end{array}]$

Этап 6

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 5}{3} & \frac{- 21}{3} \\ 9 & 4 & - 6 \end{array}]$

Этап 6.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & - 7 \\ 9 & 4 & - 6 \end{array}]$

Этап 6.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 9 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 9 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & - 7 \\ 9 - 9 \cdot 1 & 4 - 9 (- \frac{5}{3}) & - 6 - 9 \cdot - 7 \end{array}]$

Этап 6.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & - 7 \\ 0 & 19 & 57 \end{array}]$

Этап 6.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{19}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{19}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & - 7 \\ \frac{0}{19} & \frac{19}{19} & \frac{57}{19} \end{array}]$

Этап 6.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & - 7 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Этап 6.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{3} \cdot 0 & - \frac{5}{3} + \frac{5}{3} \cdot 1 & - 7 + \frac{5}{3} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Этап 6.4.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Этап 7

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$a = - 2$

$b = 3$

Этап 8

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(- 2, 3)$

Этап 9

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \end{array}]$