Линейная алгебра Примеры

$2 x - y = 10$ , $x = \frac{1}{2} y + 5$

Этап 1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y$ .

$2 x - y = 10, x = \frac{y}{2} + 5$

Этап 2

Вычтем $\frac{y}{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x - y = 10, x - \frac{y}{2} = 5$

Этап 3

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 & 10 \\ 1 & - \frac{1}{2} & 5 \end{array}]$

Этап 4

Приведем к ступенчатому виду, чтобы исключить одну из переменных.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{10}{2} \\ 1 & - \frac{1}{2} & 5 \end{array}]$

Этап 4.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 5 \\ 1 & - \frac{1}{2} & 5 \end{array}]$

Этап 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 5 \\ 1 - 1 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & 5 - 5 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x - \frac{y}{2} = 5$

Этап 6

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{y}{2} = 5 - x$

Этап 6.2

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 (5 - x)$

Этап 6.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Упростим $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 (5 - x)$

Этап 6.3.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- y}{2} = - 2 (5 - x)$

Этап 6.3.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- y}{2} = - 2 (5 - x)$

Этап 6.3.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - y = - 2 (5 - x)$

Этап 6.3.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - 2 (5 - x)$

Этап 6.3.1.1.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - 2 (5 - x)$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим $- 2 (5 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 2 \cdot 5 - 2 (- x)$

Этап 6.3.2.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.1

Умножим $- 2$ на $5$ .

$y = - 10 - 2 (- x)$

Этап 6.3.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$y = - 10 + 2 x$

Этап 6.4

Изменим порядок $- 10$ и $2 x$ .

$y = 2 x - 10$

Этап 7

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(x, 2 x - 10)$

Этап 8

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 2 x - 10 \end{array}]$