Линейная алгебра Примеры

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1$ , $x (2 y - 5) - 2 y (x + 3) = 2 x + 1$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, x (2 y) + x \cdot - 5 - 2 y (x + 3) = 2 x + 1$

Этап 1.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, 2 x y + x \cdot - 5 - 2 y (x + 3) = 2 x + 1$

Этап 1.1.3

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, 2 x y - 5 \cdot x - 2 y (x + 3) = 2 x + 1$

Этап 1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, 2 x y - 5 x - 2 y x - 2 y \cdot 3 = 2 x + 1$

Этап 1.1.5

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, 2 x y - 5 x - 2 y x - 6 y = 2 x + 1$

Этап 1.2

Объединим противоположные члены в $2 x y - 5 x - 2 y x - 6 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Изменим порядок множителей в членах $2 x y$ и $- 2 y x$ .

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, 2 x y - 5 x - 2 x y - 6 y = 2 x + 1$

Этап 1.2.2

Вычтем $2 x y$ из $2 x y$ .

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, - 5 x + 0 - 6 y = 2 x + 1$

Этап 1.2.3

Добавим $- 5 x$ и $0$ .

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, - 5 x - 6 y = 2 x + 1$

Этап 2

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, - 5 x - 6 y - 2 x = 1$

Этап 2.2

Вычтем $2 x$ из $- 5 x$ .

$\frac{2 x + 3}{3 y - 2} = 1, - 7 x - 6 y = 1$

Этап 3

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 y - 2} & 0 & 1 \\ - 7 & - 6 & 1 \end{array}]$

Этап 4

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $3 y - 2$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $3 y - 2$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} (3 y - 2) \frac{1}{3 y - 2} & (3 y - 2) \cdot 0 & (3 y - 2) \cdot 1 \\ - 7 & - 6 & 1 \end{array}]$

Этап 4.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 y - 2 \\ - 7 & - 6 & 1 \end{array}]$

Этап 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 7 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 7 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 y - 2 \\ - 7 + 7 \cdot 1 & - 6 + 7 \cdot 0 & 1 + 7 (3 y - 2) \end{array}]$

Этап 4.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 y - 2 \\ 0 & - 6 & 21 y - 13 \end{array}]$

Этап 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 y - 2 \\ - \frac{1}{6} \cdot 0 & - \frac{1}{6} \cdot - 6 & - \frac{1}{6} (21 y - 13) \end{array}]$

Этап 4.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 y - 2 \\ 0 & 1 & - \frac{7 y}{2} + \frac{13}{6} \end{array}]$

Этап 5

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x = 3 y - 2$

$y = - \frac{7 y}{2} + \frac{13}{6}$

Этап 6

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Добавим $\frac{7 y}{2}$ к обеим частям уравнения.

$y + \frac{7 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Этап 6.1.2

Чтобы записать $y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Этап 6.1.3

Объединим $y$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y \cdot 2}{2} + \frac{7 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Этап 6.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y \cdot 2 + 7 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Этап 6.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{2 \cdot y + 7 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Этап 6.1.5.2

Добавим $2 y$ и $7 y$ .

$\frac{9 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

$\frac{9 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

$\frac{9 y}{2} = \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Этап 6.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2}{9} \cdot \frac{9 y}{2} = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Этап 6.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Упростим $\frac{2}{9} \cdot \frac{9 y}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{9} \cdot \frac{9 y}{2} = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Этап 6.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{9} \cdot (9 y) = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

$\frac{1}{9} \cdot (9 y) = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Этап 6.3.1.1.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9 y$ .

$\frac{1}{9} \cdot (9 (y)) = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Этап 6.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{9} \cdot (9 y) = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Этап 6.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$

$x = 3 y - 2$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим $\frac{2}{9} \cdot \frac{13}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$y = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{2 (3)}$

$x = 3 y - 2$

Этап 6.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2}{9} \cdot \frac{13}{2 \cdot 3}$

$x = 3 y - 2$

Этап 6.3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{1}{9} \cdot \frac{13}{3}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{1}{9} \cdot \frac{13}{3}$

$x = 3 y - 2$

Этап 6.3.2.1.2

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{13}{3}$ .

$y = \frac{13}{9 \cdot 3}$

$x = 3 y - 2$

Этап 6.3.2.1.3

Умножим $9$ на $3$ .

$y = \frac{13}{27}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{13}{27}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{13}{27}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{13}{27}$

$x = 3 y - 2$

$y = \frac{13}{27}$

$x = 3 y - 2$

Этап 7

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(3 y - 2, \frac{13}{27})$

Этап 8

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 y - 2 \\ \frac{13}{27} \end{array}]$