Линейная алгебра Примеры

$y = 2 x + 3$ , $\frac{1}{2} y = x + \frac{3}{2}$

Этап 1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$y - 2 x = 3, \frac{1}{2} y = x + \frac{3}{2}$

Этап 2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y$ .

$y - 2 x = 3, \frac{y}{2} = x + \frac{3}{2}$

Этап 3

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$y - 2 x = 3, \frac{y}{2} - x = \frac{3}{2}$

Этап 4

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 3 \\ - 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{array}]$

Этап 5

Приведем к ступенчатому виду, чтобы исключить одну из переменных.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \\ - 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{array}]$

Этап 5.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} \\ - 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{array}]$

Этап 5.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} \\ - 1 + 1 \cdot 1 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \end{array}]$

Этап 5.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 6

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x - \frac{y}{2} = - \frac{3}{2}$

Этап 7

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{y}{2} = - \frac{3}{2} - x$

Этап 7.2

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 (- \frac{3}{2} - x)$

Этап 7.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Упростим $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 (- \frac{3}{2} - x)$

Этап 7.3.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- y}{2} = - 2 (- \frac{3}{2} - x)$

Этап 7.3.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- y}{2} = - 2 (- \frac{3}{2} - x)$

Этап 7.3.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - y = - 2 (- \frac{3}{2} - x)$

Этап 7.3.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - 2 (- \frac{3}{2} - x)$

Этап 7.3.1.1.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - 2 (- \frac{3}{2} - x)$

Этап 7.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Упростим $- 2 (- \frac{3}{2} - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 2 (- \frac{3}{2}) - 2 (- x)$

Этап 7.3.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

$y = - 2 (\frac{- 3}{2}) - 2 (- x)$

Этап 7.3.2.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y = 2 (- 1) \frac{- 3}{2} - 2 (- x)$

Этап 7.3.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$y = 2 \cdot - 1 \frac{- 3}{2} - 2 (- x)$

Этап 7.3.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$y = - - 3 - 2 (- x)$

Этап 7.3.2.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$y = 3 - 2 (- x)$

Этап 7.3.2.1.3.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$y = 3 + 2 x$

Этап 7.4

Изменим порядок $3$ и $2 x$ .

$y = 2 x + 3$

Этап 8

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(x, 2 x + 3)$

Этап 9

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 2 x + 3 \end{array}]$