Линейная алгебра Примеры

$2 x + y = 5 z + 8 w$ , $x = z + 2 w$

Этап 1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $5 z$ из обеих частей уравнения.

$2 x + y - 5 z = 8 w, x = z + 2 w$

Этап 1.2

Вычтем $8 w$ из обеих частей уравнения.

$2 x + y - 5 z - 8 w = 0, x = z + 2 w$

Этап 2

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $z$ из обеих частей уравнения.

$2 x + y - 5 z - 8 w = 0, x - z = 2 w$

Этап 2.2

Вычтем $2 w$ из обеих частей уравнения.

$2 x + y - 5 z - 8 w = 0, x - z - 2 w = 0$

Этап 3

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} - 8 & 2 & 1 & - 5 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{8}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{8}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8} \cdot - 8 & - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 1 & - \frac{1}{8} \cdot - 5 & - \frac{1}{8} \cdot 0 \\ - 2 & 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} & \frac{5}{8} & 0 \\ - 2 & 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} & \frac{5}{8} & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 (- \frac{1}{4}) & 0 + 2 (- \frac{1}{8}) & - 1 + 2 (\frac{5}{8}) & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} & \frac{5}{8} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 \end{array}]$

Этап 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $2$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $2$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} & \frac{5}{8} & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 (\frac{1}{2}) & 2 (- \frac{1}{4}) & 2 (\frac{1}{4}) & 2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} & \frac{5}{8} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Этап 4.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1 & - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{2}) & \frac{5}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} & 0 + \frac{1}{4} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Этап 4.4.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Этап 5

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$w - \frac{y}{4} + \frac{3 z}{4} = 0$

$x - \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 0$

Этап 6

Перенесем все члены без $w$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $\frac{y}{4}$ к обеим частям уравнения.

$w + \frac{3 z}{4} = \frac{y}{4}$

$x - \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 0$

Этап 6.2

Вычтем $\frac{3 z}{4}$ из обеих частей уравнения.

$w = \frac{y}{4} - \frac{3 z}{4}$

$x - \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 0$

$w = \frac{y}{4} - \frac{3 z}{4}$

$x - \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 0$

Этап 7

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $\frac{y}{2}$ к обеим частям уравнения.

$x + \frac{z}{2} = \frac{y}{2}$

$w = \frac{y}{4} - \frac{3 z}{4}$

Этап 7.2

Вычтем $\frac{z}{2}$ из обеих частей уравнения.

$x = \frac{y}{2} - \frac{z}{2}$

$w = \frac{y}{4} - \frac{3 z}{4}$

$x = \frac{y}{2} - \frac{z}{2}$

$w = \frac{y}{4} - \frac{3 z}{4}$

Этап 8

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(\frac{y}{4} - \frac{3 z}{4}, \frac{y}{2} - \frac{z}{2}, y, z)$

Этап 9

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} w \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{4} - \frac{3 z}{4} \\ \frac{y}{2} - \frac{z}{2} \\ y \\ z \end{array}]$