Линейная алгебра Примеры

$2 x + 4 y - 2 z = 0$ , $3 x + 5 y = 1$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 2 & 4 & - 2 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{4}{2} & \frac{- 2}{2} & \frac{0}{2} \\ 3 & 5 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 \cdot 2 & 0 - 3 \cdot - 1 & 1 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 3 & 1 \end{array}]$

Этап 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 3 & - 1 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & - 1 \end{array}]$

Этап 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot - 3 & 0 - 2 \cdot - 1 \\ 0 & 1 & - 3 & - 1 \end{array}]$

Этап 2.4.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & - 3 & - 1 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x + 5 z = 2$

$y - 3 z = - 1$

Этап 4

Вычтем $5 z$ из обеих частей уравнения.

$x = 2 - 5 z$

$y - 3 z = - 1$

Этап 5

Добавим $3 z$ к обеим частям уравнения.

$y = - 1 + 3 z$

$x = 2 - 5 z$

Этап 6

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(2 - 5 z, - 1 + 3 z, z)$

Этап 7

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 - 5 z \\ - 1 + 3 z \\ z \end{array}]$