Линейная алгебра Примеры

$2 x + 2 y + 4 z = 0$ , $w - y - 3 z = 0$ , $2 w + 3 x + y + z = 0$ , $- 2 w + x + 3 y - 2 z = 0$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 2 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 & - 3 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 1 & 0 \\ - 2 & 1 & 3 & - 2 & 0 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 1 & 0 \\ - 2 & 1 & 3 & - 2 & 0 \end{array}]$

Этап 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 4 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 \cdot - 1 & 1 - 2 \cdot - 3 & 0 - 2 \cdot 0 \\ - 2 & 1 & 3 & - 2 & 0 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 7 & 0 \\ - 2 & 1 & 3 & - 2 & 0 \end{array}]$

Этап 2.3

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 2 R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 2 R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 7 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot 0 & 3 + 2 \cdot - 1 & - 2 + 2 \cdot - 3 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 7 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 8 & 0 \end{array}]$

Этап 2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & - 3 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{2}{2} & \frac{4}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 3 & 3 & 7 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 8 & 0 \end{array}]$

Этап 2.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 7 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 8 & 0 \end{array}]$

Этап 2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 3 - 3 \cdot 1 & 7 - 3 \cdot 2 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 8 & 0 \end{array}]$

Этап 2.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 8 & 0 \end{array}]$

Этап 2.6

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 1 & - 8 - 2 & 0 - 0 \end{array}]$

Этап 2.6.2

Упростим $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 10 & 0 \end{array}]$

Этап 2.7

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 10 R_{3}$ to make the entry at $4, 4$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 10 R_{3}$ to make the entry at $4, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 + 10 \cdot 0 & 0 + 10 \cdot 0 & 0 + 10 \cdot 0 & - 10 + 10 \cdot 1 & 0 + 10 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 2.7.2

Упростим $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.8

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & - 3 & 0 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.8.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 3 R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 3 R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 & - 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.9.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$w - y = 0$

$x + y = 0$

$z = 0$

Этап 4

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$w = y$

$x + y = 0$

$z = 0$

Этап 5

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x = - y$

$w = y$

$z = 0$

Этап 6

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(y, - y, y, 0)$

Этап 7

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} w \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ - y \\ y \\ 0 \end{array}]$