Линейная алгебра Примеры

$f (x) = - 2 x^{2} + 9 x + 1$

Этап 1

Квадратичная функция достигает максимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает отрицательные значения, то максимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 2

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{9}{2 (- 2)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{9}{2 (- 2)}$

Этап 2.3

Упростим $- \frac{9}{2 (- 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x = - \frac{9}{- 4}$

Этап 2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - - \frac{9}{4}$

Этап 2.3.3

Умножим $- - \frac{9}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1 (\frac{9}{4})$

Этап 2.3.3.2

Умножим $\frac{9}{4}$ на $1$ .

$x = \frac{9}{4}$

Этап 3

Найдем значение $f (\frac{9}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{9}{4}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - 2 {(\frac{9}{4})}^{2} + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{9}{4}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - 2 \frac{9^{2}}{4^{2}} + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Этап 3.2.1.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$f (\frac{9}{4}) = - 2 \frac{81}{4^{2}} + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Этап 3.2.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (\frac{9}{4}) = - 2 (\frac{81}{16}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{9}{4}) = 2 (- 1) (\frac{81}{16}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Этап 3.2.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$f (\frac{9}{4}) = 2 \cdot (- 1 \frac{81}{2 \cdot 8}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Этап 3.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{9}{4}) = 2 \cdot (- 1 \frac{81}{2 \cdot 8}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Этап 3.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{9}{4}) = - 1 (\frac{81}{8}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Этап 3.2.1.5

Перепишем $- 1 (\frac{81}{8})$ в виде $- (\frac{81}{8})$ .

$f (\frac{9}{4}) = - (\frac{81}{8}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Этап 3.2.1.6

Умножим $9 (\frac{9}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Объединим $9$ и $\frac{9}{4}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{9 \cdot 9}{4} + 1$

Этап 3.2.1.6.2

Умножим $9$ на $9$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81}{4} + 1$

Этап 3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $\frac{81}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81}{4} \cdot \frac{2}{2} + 1$

Этап 3.2.2.2

Умножим $\frac{81}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Этап 3.2.2.3

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

Этап 3.2.2.4

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Этап 3.2.2.5

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{8}{8}$

Этап 3.2.2.6

Изменим порядок множителей в $4 \cdot 2$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{8}{8}$

Этап 3.2.2.7

Умножим $2$ на $4$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{8} + \frac{8}{8}$

Этап 3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{9}{4}) = \frac{- 81 + 81 \cdot 2 + 8}{8}$

Этап 3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $81$ на $2$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{- 81 + 162 + 8}{8}$

Этап 3.2.4.2

Добавим $- 81$ и $162$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81 + 8}{8}$

Этап 3.2.4.3

Добавим $81$ и $8$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{89}{8}$

Этап 3.2.5

Окончательный ответ: $\frac{89}{8}$ .

$\frac{89}{8}$

Этап 4

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается максимум.

$(\frac{9}{4}, \frac{89}{8})$

Этап 5