Линейная алгебра Примеры

$16 x - 10 y = 6$ , $8 x - 5 y = 3$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 16 & - 10 & 6 \\ 8 & - 5 & 3 \end{array}]$

Этап 2

Приведем к ступенчатому виду, чтобы исключить одну из переменных.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{16}{16} & \frac{- 10}{16} & \frac{6}{16} \\ 8 & - 5 & 3 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{8} & \frac{3}{8} \\ 8 & - 5 & 3 \end{array}]$

Этап 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{8} & \frac{3}{8} \\ 8 - 8 \cdot 1 & - 5 - 8 (- \frac{5}{8}) & 3 - 8 (\frac{3}{8}) \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{8} & \frac{3}{8} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x - \frac{5 y}{8} = \frac{3}{8}$

Этап 4

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{5 y}{8} = \frac{3}{8} - x$

Этап 4.2

Умножим обе части уравнения на $- \frac{8}{5}$ .

$- \frac{8}{5} (- \frac{5 y}{8}) = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Этап 4.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Упростим $- \frac{8}{5} (- \frac{5 y}{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{8}{5}$ в числитель.

$\frac{- 8}{5} (- \frac{5 y}{8}) = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Этап 4.3.1.1.1.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5 y}{8}$ в числитель.

$\frac{- 8}{5} \cdot \frac{- 5 y}{8} = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Этап 4.3.1.1.1.3

Вынесем множитель $8$ из $- 8$ .

$\frac{8 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 y}{8} = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Этап 4.3.1.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 y}{8} = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Этап 4.3.1.1.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{5} (- 5 y) = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Этап 4.3.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 y$ .

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Этап 4.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Этап 4.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- - y = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Этап 4.3.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Этап 4.3.1.1.3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Этап 4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим $- \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{8}{5} \cdot \frac{3}{8} - \frac{8}{5} (- x)$

Этап 4.3.2.1.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{8}{5}$ в числитель.

$y = \frac{- 8}{5} \cdot \frac{3}{8} - \frac{8}{5} (- x)$

Этап 4.3.2.1.2.2

Вынесем множитель $8$ из $- 8$ .

$y = \frac{8 (- 1)}{5} \cdot \frac{3}{8} - \frac{8}{5} (- x)$

Этап 4.3.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{8 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{3}{8} - \frac{8}{5} (- x)$

Этап 4.3.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{- 1}{5} \cdot 3 - \frac{8}{5} (- x)$

Этап 4.3.2.1.3

Объединим $\frac{- 1}{5}$ и $3$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 3}{5} - \frac{8}{5} (- x)$

Этап 4.3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = \frac{- 3}{5} - \frac{8}{5} (- x)$

Этап 4.3.2.1.5

Умножим $- \frac{8}{5} (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 3}{5} + 1 (\frac{8}{5}) x$

Этап 4.3.2.1.5.2

Умножим $\frac{8}{5}$ на $1$ .

$y = \frac{- 3}{5} + \frac{8}{5} x$

Этап 4.3.2.1.5.3

Объединим $\frac{8}{5}$ и $x$ .

$y = \frac{- 3}{5} + \frac{8 x}{5}$

Этап 4.3.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{3}{5} + \frac{8 x}{5}$

Этап 4.4

Изменим порядок $- \frac{3}{5}$ и $\frac{8 x}{5}$ .

$y = \frac{8 x}{5} - \frac{3}{5}$

Этап 5

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(x, \frac{8 x}{5} - \frac{3}{5})$

Этап 6

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ \frac{8 x}{5} - \frac{3}{5} \end{array}]$