Линейная алгебра Примеры

$15 x - 10 y = 5$ , $15 y = - 5 + 10 x$

Этап 1

Вычтем $10 x$ из обеих частей уравнения.

$15 x - 10 y = 5, 15 y - 10 x = - 5$

Этап 2

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 15 & - 10 & 5 \\ - 10 & 15 & - 5 \end{array}]$

Этап 3

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{15}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{15}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{15}{15} & \frac{- 10}{15} & \frac{5}{15} \\ - 10 & 15 & - 5 \end{array}]$

Этап 3.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ - 10 & 15 & - 5 \end{array}]$

Этап 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 10 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 10 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ - 10 + 10 \cdot 1 & 15 + 10 (- \frac{2}{3}) & - 5 + 10 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Этап 3.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{25}{3} & - \frac{5}{3} \end{array}]$

Этап 3.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{25}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{25}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{3}{25} \cdot 0 & \frac{3}{25} \cdot \frac{25}{3} & \frac{3}{25} (- \frac{5}{3}) \end{array}]$

Этап 3.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} \end{array}]$

Этап 3.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{5}) \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} \end{array}]$

Этап 3.4.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} \end{array}]$

Этап 4

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x = \frac{1}{5}$

$y = - \frac{1}{5}$

Этап 5

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(\frac{1}{5}, - \frac{1}{5})$

Этап 6

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} \end{array}]$