Линейная алгебра Примеры

$\frac{x + y}{7} = \frac{y + 4}{5}$ , $\frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}$ , $\frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\frac{y + 4}{5}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x + y}{7} - \frac{y + 4}{5} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 1.2

Чтобы записать $\frac{x + y}{7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x + y}{7} \cdot \frac{5}{5} - \frac{y + 4}{5} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 1.3

Чтобы записать $- \frac{y + 4}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{x + y}{7} \cdot \frac{5}{5} - \frac{y + 4}{5} \cdot \frac{7}{7} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 1.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $35$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{x + y}{7}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{(x + y) \cdot 5}{7 \cdot 5} - \frac{y + 4}{5} \cdot \frac{7}{7} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 1.4.2

Умножим $7$ на $5$ .

$\frac{(x + y) \cdot 5}{35} - \frac{y + 4}{5} \cdot \frac{7}{7} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 1.4.3

Умножим $\frac{y + 4}{5}$ на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{(x + y) \cdot 5}{35} - \frac{(y + 4) \cdot 7}{5 \cdot 7} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 1.4.4

Умножим $5$ на $7$ .

$\frac{(x + y) \cdot 5}{35} - \frac{(y + 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x + y) \cdot 5 - (y + 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 5 + y \cdot 5 - (y + 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 1.6.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$\frac{5 \cdot x + y \cdot 5 - (y + 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 1.6.3

Перенесем $5$ влево от $y$ .

$\frac{5 \cdot x + 5 \cdot y - (y + 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 1.6.4

Умножим $5$ на $y$ .

$\frac{5 x + 5 y - (y + 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x + 5 y + (- y - 1 \cdot 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 1.6.6

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{5 x + 5 y + (- y - 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 1.6.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x + 5 y - y \cdot 7 - 4 \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 1.6.8

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{5 x + 5 y - 7 y - 4 \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 1.6.9

Умножим $- 4$ на $7$ .

$\frac{5 x + 5 y - 7 y - 28}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 1.6.10

Вычтем $7 y$ из $5 y$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 2

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $\frac{y - 4}{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{x - z}{5} - \frac{y - 4}{2} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{x - z}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{x - z}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{y - 4}{2} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 2.3

Чтобы записать $- \frac{y - 4}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{x - z}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{y - 4}{2} \cdot \frac{5}{5} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $10$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\frac{x - z}{5}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{(x - z) \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{y - 4}{2} \cdot \frac{5}{5} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 2.4.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{(x - z) \cdot 2}{10} - \frac{y - 4}{2} \cdot \frac{5}{5} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 2.4.3

Умножим $\frac{y - 4}{2}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{(x - z) \cdot 2}{10} - \frac{(y - 4) \cdot 5}{2 \cdot 5} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 2.4.4

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{(x - z) \cdot 2}{10} - \frac{(y - 4) \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{(x - z) \cdot 2 - (y - 4) \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{x \cdot 2 - z \cdot 2 - (y - 4) \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 2.6.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 \cdot x - z \cdot 2 - (y - 4) \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 2.6.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 \cdot x - 2 z - (y - 4) \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 2.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z + (- y - - 4) \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 2.6.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z + (- y + 4) \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 2.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - y \cdot 5 + 4 \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 2.6.7

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 4 \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 2.6.8

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Этап 3

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $\frac{x + 2}{10}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{y - z}{3} - \frac{x + 2}{10} = 0$

Этап 3.2

Чтобы записать $\frac{y - z}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10}{10}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{y - z}{3} \cdot \frac{10}{10} - \frac{x + 2}{10} = 0$

Этап 3.3

Чтобы записать $- \frac{x + 2}{10}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{y - z}{3} \cdot \frac{10}{10} - \frac{x + 2}{10} \cdot \frac{3}{3} = 0$

Этап 3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $30$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $\frac{y - z}{3}$ на $\frac{10}{10}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{(y - z) \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{x + 2}{10} \cdot \frac{3}{3} = 0$

Этап 3.4.2

Умножим $3$ на $10$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{(y - z) \cdot 10}{30} - \frac{x + 2}{10} \cdot \frac{3}{3} = 0$

Этап 3.4.3

Умножим $\frac{x + 2}{10}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{(y - z) \cdot 10}{30} - \frac{(x + 2) \cdot 3}{10 \cdot 3} = 0$

Этап 3.4.4

Умножим $10$ на $3$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{(y - z) \cdot 10}{30} - \frac{(x + 2) \cdot 3}{30} = 0$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{(y - z) \cdot 10 - (x + 2) \cdot 3}{30} = 0$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{y \cdot 10 - z \cdot 10 - (x + 2) \cdot 3}{30} = 0$

Этап 3.6.2

Перенесем $10$ влево от $y$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{10 \cdot y - z \cdot 10 - (x + 2) \cdot 3}{30} = 0$

Этап 3.6.3

Умножим $10$ на $- 1$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{10 \cdot y - 10 z - (x + 2) \cdot 3}{30} = 0$

Этап 3.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{10 y - 10 z + (- x - 1 \cdot 2) \cdot 3}{30} = 0$

Этап 3.6.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{10 y - 10 z + (- x - 2) \cdot 3}{30} = 0$

Этап 3.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{10 y - 10 z - x \cdot 3 - 2 \cdot 3}{30} = 0$

Этап 3.6.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{10 y - 10 z - 3 x - 2 \cdot 3}{30} = 0$

Этап 3.6.8

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{10 y - 10 z - 3 x - 6}{30} = 0$

Этап 4

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{35} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{10} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{30} & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $35$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $35$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 35 (\frac{1}{35}) & 35 \cdot 0 & 35 \cdot 0 & 35 \cdot 0 \\ \frac{1}{10} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{30} & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{10} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{30} & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{10} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{10} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{10} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{10} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{10} \cdot 0 \\ 0 & \frac{1}{30} & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{30} & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{30} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $30$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $30$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 30 \cdot 0 & 30 (\frac{1}{30}) & 30 \cdot 0 & 30 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 6

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x = 0$

$y = 0$

Этап 7

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(0, 0, z)$

Этап 8

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array}]$