Линейная алгебра Примеры

$3 x + 4 y = 7$ , $6 x + 8 y = 14$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 3 & 4 & 7 \\ 6 & 8 & 14 \end{array}]$

Этап 2

Приведем к ступенчатому виду, чтобы исключить одну из переменных.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{4}{3} & \frac{7}{3} \\ 6 & 8 & 14 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & \frac{7}{3} \\ 6 & 8 & 14 \end{array}]$

Этап 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & \frac{7}{3} \\ 6 - 6 \cdot 1 & 8 - 6 (\frac{4}{3}) & 14 - 6 (\frac{7}{3}) \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & \frac{7}{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x + \frac{4 y}{3} = \frac{7}{3}$

Этап 4

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{4 y}{3} = \frac{7}{3} - x$

Этап 4.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3} = \frac{3}{4} (\frac{7}{3} - x)$

Этап 4.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Упростим $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3} = \frac{3}{4} (\frac{7}{3} - x)$

Этап 4.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} (4 y) = \frac{3}{4} (\frac{7}{3} - x)$

Этап 4.3.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y$ .

$\frac{1}{4} (4 (y)) = \frac{3}{4} (\frac{7}{3} - x)$

Этап 4.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} (4 y) = \frac{3}{4} (\frac{7}{3} - x)$

Этап 4.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{3}{4} (\frac{7}{3} - x)$

Этап 4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим $\frac{3}{4} (\frac{7}{3} - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{3} + \frac{3}{4} (- x)$

Этап 4.3.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{3} + \frac{3}{4} (- x)$

Этап 4.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{1}{4} \cdot 7 + \frac{3}{4} (- x)$

Этап 4.3.2.1.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $7$ .

$y = \frac{7}{4} + \frac{3}{4} (- x)$

Этап 4.3.2.1.4

Объединим $\frac{3}{4}$ и $x$ .

$y = \frac{7}{4} - \frac{3 x}{4}$

Этап 4.4

Изменим порядок $\frac{7}{4}$ и $- \frac{3 x}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{7}{4}$

Этап 5

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(x, - \frac{3 x}{4} + \frac{7}{4})$

Этап 6

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ - \frac{3 x}{4} + \frac{7}{4} \end{array}]$