Линейная алгебра Примеры

$9 x + 5 y - 3 z = 8$ , $8 x + 4 y - 6 z = 4$ , $6 x + 5 x + 2 z = 2$

Этап 1

Добавим $6 x$ и $5 x$ .

$9 x + 5 y - 3 z = 8, 8 x + 4 y - 6 z = 4, 11 x + 2 z = 2$

Этап 2

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 9 & 5 & - 3 & 8 \\ 8 & 4 & - 6 & 4 \\ 11 & 0 & 2 & 2 \end{array}]$

Этап 3

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{9}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{9}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{9} & \frac{5}{9} & \frac{- 3}{9} & \frac{8}{9} \\ 8 & 4 & - 6 & 4 \\ 11 & 0 & 2 & 2 \end{array}]$

Этап 3.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{3} & \frac{8}{9} \\ 8 & 4 & - 6 & 4 \\ 11 & 0 & 2 & 2 \end{array}]$

Этап 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{3} & \frac{8}{9} \\ 8 - 8 \cdot 1 & 4 - 8 (\frac{5}{9}) & - 6 - 8 (- \frac{1}{3}) & 4 - 8 (\frac{8}{9}) \\ 11 & 0 & 2 & 2 \end{array}]$

Этап 3.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{3} & \frac{8}{9} \\ 0 & - \frac{4}{9} & - \frac{10}{3} & - \frac{28}{9} \\ 11 & 0 & 2 & 2 \end{array}]$

Этап 3.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 11 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 11 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{3} & \frac{8}{9} \\ 0 & - \frac{4}{9} & - \frac{10}{3} & - \frac{28}{9} \\ 11 - 11 \cdot 1 & 0 - 11 (\frac{5}{9}) & 2 - 11 (- \frac{1}{3}) & 2 - 11 (\frac{8}{9}) \end{array}]$

Этап 3.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{3} & \frac{8}{9} \\ 0 & - \frac{4}{9} & - \frac{10}{3} & - \frac{28}{9} \\ 0 & - \frac{55}{9} & \frac{17}{3} & - \frac{70}{9} \end{array}]$

Этап 3.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{9}{4}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{9}{4}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{3} & \frac{8}{9} \\ - \frac{9}{4} \cdot 0 & - \frac{9}{4} (- \frac{4}{9}) & - \frac{9}{4} (- \frac{10}{3}) & - \frac{9}{4} (- \frac{28}{9}) \\ 0 & - \frac{55}{9} & \frac{17}{3} & - \frac{70}{9} \end{array}]$

Этап 3.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{3} & \frac{8}{9} \\ 0 & 1 & \frac{15}{2} & 7 \\ 0 & - \frac{55}{9} & \frac{17}{3} & - \frac{70}{9} \end{array}]$

Этап 3.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{55}{9} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{55}{9} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{3} & \frac{8}{9} \\ 0 & 1 & \frac{15}{2} & 7 \\ 0 + \frac{55}{9} \cdot 0 & - \frac{55}{9} + \frac{55}{9} \cdot 1 & \frac{17}{3} + \frac{55}{9} \cdot \frac{15}{2} & - \frac{70}{9} + \frac{55}{9} \cdot 7 \end{array}]$

Этап 3.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{3} & \frac{8}{9} \\ 0 & 1 & \frac{15}{2} & 7 \\ 0 & 0 & \frac{103}{2} & 35 \end{array}]$

Этап 3.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{2}{103}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{2}{103}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{3} & \frac{8}{9} \\ 0 & 1 & \frac{15}{2} & 7 \\ \frac{2}{103} \cdot 0 & \frac{2}{103} \cdot 0 & \frac{2}{103} \cdot \frac{103}{2} & \frac{2}{103} \cdot 35 \end{array}]$

Этап 3.6.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{3} & \frac{8}{9} \\ 0 & 1 & \frac{15}{2} & 7 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{70}{103} \end{array}]$

Этап 3.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{15}{2} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{15}{2} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{3} & \frac{8}{9} \\ 0 - \frac{15}{2} \cdot 0 & 1 - \frac{15}{2} \cdot 0 & \frac{15}{2} - \frac{15}{2} \cdot 1 & 7 - \frac{15}{2} \cdot \frac{70}{103} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{70}{103} \end{array}]$

Этап 3.7.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{3} & \frac{8}{9} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{196}{103} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{70}{103} \end{array}]$

Этап 3.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{5}{9} + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & \frac{8}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{70}{103} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{196}{103} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{70}{103} \end{array}]$

Этап 3.8.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{9} & 0 & \frac{1034}{927} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{196}{103} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{70}{103} \end{array}]$

Этап 3.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{9} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{9} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5}{9} \cdot 0 & \frac{5}{9} - \frac{5}{9} \cdot 1 & 0 - \frac{5}{9} \cdot 0 & \frac{1034}{927} - \frac{5}{9} \cdot \frac{196}{103} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{196}{103} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{70}{103} \end{array}]$

Этап 3.9.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{6}{103} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{196}{103} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{70}{103} \end{array}]$

Этап 4

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x = \frac{6}{103}$

$y = \frac{196}{103}$

$z = \frac{70}{103}$

Этап 5

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(\frac{6}{103}, \frac{196}{103}, \frac{70}{103})$

Этап 6

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{6}{103} \\ \frac{196}{103} \\ \frac{70}{103} \end{array}]$