Линейная алгебра Примеры

$8 p = 12 - 2 q$ , $q + 4 p = 6$

Этап 1

Добавим $2 q$ к обеим частям уравнения.

$8 p + 2 q = 12, q + 4 p = 6$

Этап 2

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 8 & 2 & 12 \\ 4 & 1 & 6 \end{array}]$

Этап 3

Приведем к ступенчатому виду, чтобы исключить одну из переменных.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{8} & \frac{2}{8} & \frac{12}{8} \\ 4 & 1 & 6 \end{array}]$

Этап 3.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{3}{2} \\ 4 & 1 & 6 \end{array}]$

Этап 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{3}{2} \\ 4 - 4 \cdot 1 & 1 - 4 (\frac{1}{4}) & 6 - 4 (\frac{3}{2}) \end{array}]$

Этап 3.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$p + \frac{q}{4} = \frac{3}{2}$

Этап 5

Решим уравнение относительно $q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $p$ из обеих частей уравнения.

$\frac{q}{4} = \frac{3}{2} - p$

Этап 5.2

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 \frac{q}{4} = 4 (\frac{3}{2} - p)$

Этап 5.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{q}{4} = 4 (\frac{3}{2} - p)$

Этап 5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$q = 4 (\frac{3}{2} - p)$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим $4 (\frac{3}{2} - p)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$q = 4 (\frac{3}{2}) + 4 (- p)$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$q = 2 (2) \frac{3}{2} + 4 (- p)$

Этап 5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$q = 2 \cdot 2 \frac{3}{2} + 4 (- p)$

Этап 5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$q = 2 \cdot 3 + 4 (- p)$

Этап 5.3.2.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Умножим $2$ на $3$ .

$q = 6 + 4 (- p)$

Этап 5.3.2.1.3.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$q = 6 - 4 p$

Этап 5.4

Изменим порядок $6$ и $- 4 p$ .

$q = - 4 p + 6$

Этап 6

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(p, - 4 p + 6)$

Этап 7

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} p \\ q \end{array}] = [\begin{array}{c} p \\ - 4 p + 6 \end{array}]$