Линейная алгебра Примеры

$4 x - 8 y = 12$ , $- 3 x + 6 y = - 9$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 4 & - 8 & 12 \\ - 3 & 6 & - 9 \end{array}]$

Этап 2

Приведем к ступенчатому виду, чтобы исключить одну из переменных.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{- 8}{4} & \frac{12}{4} \\ - 3 & 6 & - 9 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 \\ - 3 & 6 & - 9 \end{array}]$

Этап 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 6 + 3 \cdot - 2 & - 9 + 3 \cdot 3 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x - 2 y = 3$

Этап 4

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y = 3 - x$

Этап 4.2

Разделим каждый член $- 2 y = 3 - x$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $- 2 y = 3 - x$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{3}{- 2} + \frac{- x}{- 2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{3}{- 2} + \frac{- x}{- 2}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{3}{- 2} + \frac{- x}{- 2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{3}{2} + \frac{- x}{- 2}$

Этап 4.2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = - \frac{3}{2} + \frac{x}{2}$

Этап 5

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(x, - \frac{3}{2} + \frac{x}{2})$

Этап 6

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ - \frac{3}{2} + \frac{x}{2} \end{array}]$