Линейная алгебра Примеры

$4 x - 3 y = 0$ , $- 4 x + 3 y = 0$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 4 & - 3 & 0 \\ - 4 & 3 & 0 \end{array}]$

Этап 2

Приведем к ступенчатому виду, чтобы исключить одну из переменных.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{- 3}{4} & \frac{0}{4} \\ - 4 & 3 & 0 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & 0 \\ - 4 & 3 & 0 \end{array}]$

Этап 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & 0 \\ - 4 + 4 \cdot 1 & 3 + 4 (- \frac{3}{4}) & 0 + 4 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x - \frac{3 y}{4} = 0$

Этап 4

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{3 y}{4} = - x$

Этап 4.2

Умножим обе части уравнения на $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} (- x)$

Этап 4.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Упростим $- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{3}$ в числитель.

$\frac{- 4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} (- x)$

Этап 4.3.1.1.1.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 y}{4}$ в числитель.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (- x)$

Этап 4.3.1.1.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (- x)$

Этап 4.3.1.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (- x)$

Этап 4.3.1.1.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{3} (- 3 y) = - \frac{4}{3} (- x)$

Этап 4.3.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 y$ .

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} (- x)$

Этап 4.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} (- x)$

Этап 4.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- - y = - \frac{4}{3} (- x)$

Этап 4.3.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - \frac{4}{3} (- x)$

Этап 4.3.1.1.3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - \frac{4}{3} (- x)$

Этап 4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $- \frac{4}{3} (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 1 (\frac{4}{3}) x$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $\frac{4}{3}$ на $1$ .

$y = \frac{4}{3} x$

Этап 4.3.2.1.3

Объединим $\frac{4}{3}$ и $x$ .

$y = \frac{4 x}{3}$

Этап 5

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(x, \frac{4 x}{3})$

Этап 6

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ \frac{4 x}{3} \end{array}]$