Линейная алгебра Примеры

$4 x + 2 y = - 6$ , $y = - 2 x - 3$

Этап 1

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$4 x + 2 y = - 6, y + 2 x = - 3$

Этап 2

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 & - 6 \\ 2 & 1 & - 3 \end{array}]$

Этап 3

Приведем к ступенчатому виду, чтобы исключить одну из переменных.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{2}{4} & \frac{- 6}{4} \\ 2 & 1 & - 3 \end{array}]$

Этап 3.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} \\ 2 & 1 & - 3 \end{array}]$

Этап 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 (\frac{1}{2}) & - 3 - 2 (- \frac{3}{2}) \end{array}]$

Этап 3.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x + \frac{y}{2} = - \frac{3}{2}$

Этап 5

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y}{2} = - \frac{3}{2} - x$

Этап 5.2

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (- \frac{3}{2} - x)$

Этап 5.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y}{2} = 2 (- \frac{3}{2} - x)$

Этап 5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 2 (- \frac{3}{2} - x)$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим $2 (- \frac{3}{2} - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 (- \frac{3}{2}) + 2 (- x)$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

$y = 2 (\frac{- 3}{2}) + 2 (- x)$

Этап 5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = 2 (\frac{- 3}{2}) + 2 (- x)$

Этап 5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = - 3 + 2 (- x)$

Этап 5.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = - 3 - 2 x$

Этап 5.4

Изменим порядок $- 3$ и $- 2 x$ .

$y = - 2 x - 3$

Этап 6

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(x, - 2 x - 3)$

Этап 7

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ - 2 x - 3 \end{array}]$