Линейная алгебра Примеры

$3 y + 2 z + w = 1$ , $2 x + 2 y - 2 z + 4 w = 2$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 2 & - 2 & 2 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 2 - 4 \cdot 0 & 2 - 4 \cdot 3 & - 2 - 4 \cdot 2 & 2 - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & - 10 & - 10 & - 2 \end{array}]$

Этап 2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{- 10}{2} & \frac{- 10}{2} & \frac{- 2}{2} \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & - 5 & - 5 & - 1 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$w + 3 y + 2 z = 1$

$x - 5 y - 5 z = - 1$

Этап 4

Перенесем все члены без $w$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $3 y$ из обеих частей уравнения.

$w + 2 z = 1 - 3 y$

$x - 5 y - 5 z = - 1$

Этап 4.2

Вычтем $2 z$ из обеих частей уравнения.

$w = 1 - 3 y - 2 z$

$x - 5 y - 5 z = - 1$

$w = 1 - 3 y - 2 z$

$x - 5 y - 5 z = - 1$

Этап 5

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $5 y$ к обеим частям уравнения.

$x - 5 z = - 1 + 5 y$

$w = 1 - 3 y - 2 z$

Этап 5.2

Добавим $5 z$ к обеим частям уравнения.

$x = - 1 + 5 y + 5 z$

$w = 1 - 3 y - 2 z$

$x = - 1 + 5 y + 5 z$

$w = 1 - 3 y - 2 z$

Этап 6

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(1 - 3 y - 2 z, - 1 + 5 y + 5 z, y, z)$

Этап 7

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} w \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 - 3 y - 2 z \\ - 1 + 5 y + 5 z \\ y \\ z \end{array}]$