Линейная алгебра Примеры

$3 x - y = 9$ , $- 6 x + 2 y = - 18$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 3 & - 1 & 9 \\ - 6 & 2 & - 18 \end{array}]$

Этап 2

Приведем к ступенчатому виду, чтобы исключить одну из переменных.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 1}{3} & \frac{9}{3} \\ - 6 & 2 & - 18 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 3 \\ - 6 & 2 & - 18 \end{array}]$

Этап 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 3 \\ - 6 + 6 \cdot 1 & 2 + 6 (- \frac{1}{3}) & - 18 + 6 \cdot 3 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x - \frac{y}{3} = 3$

Этап 4

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{y}{3} = 3 - x$

Этап 4.2

Умножим обе части уравнения на $- 3$ .

$- 3 (- \frac{y}{3}) = - 3 (3 - x)$

Этап 4.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Упростим $- 3 (- \frac{y}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{3}$ в числитель.

$- 3 \frac{- y}{3} = - 3 (3 - x)$

Этап 4.3.1.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- y}{3} = - 3 (3 - x)$

Этап 4.3.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot - 1 \frac{- y}{3} = - 3 (3 - x)$

Этап 4.3.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - y = - 3 (3 - x)$

Этап 4.3.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - 3 (3 - x)$

Этап 4.3.1.1.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - 3 (3 - x)$

Этап 4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим $- 3 (3 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 3 \cdot 3 - 3 (- x)$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Умножим $- 3$ на $3$ .

$y = - 9 - 3 (- x)$

Этап 4.3.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$y = - 9 + 3 x$

Этап 4.4

Изменим порядок $- 9$ и $3 x$ .

$y = 3 x - 9$

Этап 5

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(x, 3 x - 9)$

Этап 6

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 3 x - 9 \end{array}]$