Линейная алгебра Примеры

$p - 3 q = 4 s$ , $2 p = s + 5 r$

Этап 1

Вычтем $4 s$ из обеих частей уравнения.

$p - 3 q - 4 s = 0, 2 p = s + 5 r$

Этап 2

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $s$ из обеих частей уравнения.

$p - 3 q - 4 s = 0, 2 p - s = 5 r$

Этап 2.2

Вычтем $5 r$ из обеих частей уравнения.

$p - 3 q - 4 s = 0, 2 p - s - 5 r = 0$

Этап 3

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 4 & 0 \\ 2 & 0 & - 5 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 4 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot - 3 & - 5 - 2 \cdot 0 & - 1 - 2 \cdot - 4 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.1.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 6 & - 5 & 7 & 0 \end{array}]$

Этап 4.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 4 & 0 \\ \frac{0}{6} & \frac{6}{6} & \frac{- 5}{6} & \frac{7}{6} & \frac{0}{6} \end{array}]$

Этап 4.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{5}{6} & \frac{7}{6} & 0 \end{array}]$

Этап 4.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 (- \frac{5}{6}) & - 4 + 3 (\frac{7}{6}) & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{5}{6} & \frac{7}{6} & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{5}{6} & \frac{7}{6} & 0 \end{array}]$

Этап 5

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$p - \frac{5 r}{2} - \frac{s}{2} = 0$

$q - \frac{5 r}{6} + \frac{7 s}{6} = 0$

Этап 6

Перенесем все члены без $p$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $\frac{5 r}{2}$ к обеим частям уравнения.

$p - \frac{s}{2} = \frac{5 r}{2}$

$q - \frac{5 r}{6} + \frac{7 s}{6} = 0$

Этап 6.2

Добавим $\frac{s}{2}$ к обеим частям уравнения.

$p = \frac{5 r}{2} + \frac{s}{2}$

$q - \frac{5 r}{6} + \frac{7 s}{6} = 0$

$p = \frac{5 r}{2} + \frac{s}{2}$

$q - \frac{5 r}{6} + \frac{7 s}{6} = 0$

Этап 7

Перенесем все члены без $q$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $\frac{5 r}{6}$ к обеим частям уравнения.

$q + \frac{7 s}{6} = \frac{5 r}{6}$

$p = \frac{5 r}{2} + \frac{s}{2}$

Этап 7.2

Вычтем $\frac{7 s}{6}$ из обеих частей уравнения.

$q = \frac{5 r}{6} - \frac{7 s}{6}$

$p = \frac{5 r}{2} + \frac{s}{2}$

$q = \frac{5 r}{6} - \frac{7 s}{6}$

$p = \frac{5 r}{2} + \frac{s}{2}$

Этап 8

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(\frac{5 r}{2} + \frac{s}{2}, \frac{5 r}{6} - \frac{7 s}{6}, r, s)$

Этап 9

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} p \\ q \\ r \\ s \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{5 r}{2} + \frac{s}{2} \\ \frac{5 r}{6} - \frac{7 s}{6} \\ r \\ s \end{array}]$