Линейная алгебра Примеры

$x + 2 y = 3$ , $2 x + k y = 2$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 & 3 \\ y & 2 & 0 & 2 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} y & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Этап 2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{y}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{y}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{y}{y} & \frac{2}{y} & \frac{0}{y} & \frac{2}{y} \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{y} & 0 & \frac{2}{y} \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Этап 2.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{y} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{y} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{y} \cdot 0 & \frac{2}{y} - \frac{2}{y} \cdot 1 & 0 - \frac{2}{y} \cdot 2 & \frac{2}{y} - \frac{2}{y} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{y} & - \frac{4}{y} \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$k - \frac{4 y}{y} = - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

Этап 4

Решим уравнение относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим $\frac{4}{y}$ к обеим частям уравнения.

$k - \frac{4 y}{y} + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Этап 4.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$k - \frac{4 y}{y} + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Этап 4.1.2.1.2

Разделим $4$ на $1$ .

$k - 1 \cdot 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

$k - 1 \cdot 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$k - 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

$k - 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

$k - 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $k$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$k + \frac{4}{y} = 4$

$x + 2 y = 3$

Этап 4.2.2

Вычтем $\frac{4}{y}$ из обеих частей уравнения.

$k = 4 - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

$k = 4 - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

$k = 4 - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

Этап 5

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$x = 3 - 2 y$

$k = 4 - \frac{4}{y}$

Этап 6

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(4 - \frac{4}{y}, 3 - 2 y, y)$

Этап 7

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} k \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 - \frac{4}{y} \\ 3 - 2 y \\ y \end{array}]$