Линейная алгебра Примеры

$x + 2 y + 5 z = 15$ , $2 x - 3 y + 3 z = 2$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 5 & 15 \\ 2 & - 3 & 3 & 2 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 5 & 15 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 \cdot 2 & 3 - 2 \cdot 5 & 2 - 2 \cdot 15 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 5 & 15 \\ 0 & - 7 & - 7 & - 28 \end{array}]$

Этап 2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 5 & 15 \\ - \frac{1}{7} \cdot 0 & - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot - 28 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 5 & 15 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{array}]$

Этап 2.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 5 - 2 \cdot 1 & 15 - 2 \cdot 4 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x + 3 z = 7$

$y + z = 4$

Этап 4

Вычтем $3 z$ из обеих частей уравнения.

$x = 7 - 3 z$

$y + z = 4$

Этап 5

Вычтем $z$ из обеих частей уравнения.

$y = 4 - z$

$x = 7 - 3 z$

Этап 6

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(7 - 3 z, 4 - z, z)$

Этап 7

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 - 3 z \\ 4 - z \\ z \end{array}]$