Линейная алгебра Примеры

$a - 4 b + 2 d + 3 g = 5$ , $2 a - 7 b + 4 d + g = 9$ , $a - 3 b + 2 d - 2 g = 4$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 3 & 5 \\ 2 & - 7 & 4 & 1 & 9 \\ 1 & - 3 & 2 & - 2 & 4 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 3 & 5 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 7 - 2 \cdot - 4 & 4 - 2 \cdot 2 & 1 - 2 \cdot 3 & 9 - 2 \cdot 5 \\ 1 & - 3 & 2 & - 2 & 4 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & - 5 & - 1 \\ 1 & - 3 & 2 & - 2 & 4 \end{array}]$

Этап 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & - 5 & - 1 \\ 1 - 1 & - 3 + 4 & 2 - 2 & - 2 - 3 & 4 - 5 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & - 5 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 5 & - 1 \end{array}]$

Этап 2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & - 5 & - 1 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & - 5 + 5 & - 1 + 1 \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & - 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & 2 + 4 \cdot 0 & 3 + 4 \cdot - 5 & 5 + 4 \cdot - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.4.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 17 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$a + 2 d - 17 g = 1$

$b - 5 g = - 1$

Этап 4

Перенесем все члены без $a$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $2 d$ из обеих частей уравнения.

$a - 17 g = 1 - 2 d$

$b - 5 g = - 1$

Этап 4.2

Добавим $17 g$ к обеим частям уравнения.

$a = 1 - 2 d + 17 g$

$b - 5 g = - 1$

$a = 1 - 2 d + 17 g$

$b - 5 g = - 1$

Этап 5

Добавим $5 g$ к обеим частям уравнения.

$b = - 1 + 5 g$

$a = 1 - 2 d + 17 g$

Этап 6

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(1 - 2 d + 17 g, - 1 + 5 g, d, g)$

Этап 7

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \\ g \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 - 2 d + 17 g \\ - 1 + 5 g \\ d \\ g \end{array}]$