Линейная алгебра Примеры

$x + 3 y + z = a$ , $x - 2 y + z = b$ , $3 x + 7 y - z = c$

Этап 1

Вычтем $a$ из обеих частей уравнения.

$x + 3 y + z - a = 0, x - 2 y + z = b, 3 x + 7 y - z = c$

Этап 2

Вычтем $b$ из обеих частей уравнения.

$x + 3 y + z - a = 0, x - 2 y + z - b = 0, 3 x + 7 y - z = c$

Этап 3

Вычтем $c$ из обеих частей уравнения.

$x + 3 y + z - a = 0, x - 2 y + z - b = 0, 3 x + 7 y - z - c = 0$

Этап 4

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 7 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 0 & - 1 \cdot 1 & - 1 \cdot 3 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 7 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & - 3 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 7 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & - 3 & - 1 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 0 & - 1 \cdot 1 & - - 2 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 7 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & - 3 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 7 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & - 3 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 3 & - 1 \cdot 7 & - - 1 & - 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & - 3 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 & - 7 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 6

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$a - x - 3 y - z = 0$

$b - x + 2 y - z = 0$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

Этап 7

Перенесем все члены без $a$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$a - 3 y - z = x$

$b - x + 2 y - z = 0$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

Этап 7.2

Добавим $3 y$ к обеим частям уравнения.

$a - z = x + 3 y$

$b - x + 2 y - z = 0$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

Этап 7.3

Добавим $z$ к обеим частям уравнения.

$a = x + 3 y + z$

$b - x + 2 y - z = 0$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

$a = x + 3 y + z$

$b - x + 2 y - z = 0$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

Этап 8

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$b + 2 y - z = x$

$a = x + 3 y + z$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

Этап 8.2

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$b - z = x - 2 y$

$a = x + 3 y + z$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

Этап 8.3

Добавим $z$ к обеим частям уравнения.

$b = x - 2 y + z$

$a = x + 3 y + z$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

$b = x - 2 y + z$

$a = x + 3 y + z$

$c - 3 x - 7 y + z = 0$

Этап 9

Перенесем все члены без $c$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $3 x$ к обеим частям уравнения.

$c - 7 y + z = 3 x$

$a = x + 3 y + z$

$b = x - 2 y + z$

Этап 9.2

Добавим $7 y$ к обеим частям уравнения.

$c + z = 3 x + 7 y$

$a = x + 3 y + z$

$b = x - 2 y + z$

Этап 9.3

Вычтем $z$ из обеих частей уравнения.

$c = 3 x + 7 y - z$

$a = x + 3 y + z$

$b = x - 2 y + z$

$c = 3 x + 7 y - z$

$a = x + 3 y + z$

$b = x - 2 y + z$

Этап 10

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(x + 3 y + z, x - 2 y + z, 3 x + 7 y - z, x, y, z)$

Этап 11

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} x + 3 y + z \\ x - 2 y + z \\ 3 x + 7 y - z \\ x \\ y \\ z \end{array}]$