Линейная алгебра Примеры

$x - 4 y = 11$ , $3 y + z = 9$ , $- x + z = 7$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 0 & 11 \\ 0 & 3 & 1 & 9 \\ - 1 & 0 & 1 & 7 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 0 & 11 \\ 0 & 3 & 1 & 9 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 0 - 4 & 1 + 0 & 7 + 1 \cdot 11 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 0 & 11 \\ 0 & 3 & 1 & 9 \\ 0 & - 4 & 1 & 18 \end{array}]$

Этап 2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 0 & 11 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{1}{3} & \frac{9}{3} \\ 0 & - 4 & 1 & 18 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 0 & 11 \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & 3 \\ 0 & - 4 & 1 & 18 \end{array}]$

Этап 2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 0 & 11 \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & 3 \\ 0 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & 1 + 4 (\frac{1}{3}) & 18 + 4 \cdot 3 \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 0 & 11 \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & 3 \\ 0 & 0 & \frac{7}{3} & 30 \end{array}]$

Этап 2.4

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{3}{7}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{3}{7}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 0 & 11 \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & 3 \\ \frac{3}{7} \cdot 0 & \frac{3}{7} \cdot 0 & \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} & \frac{3}{7} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 2.4.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 0 & 11 \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & 3 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{90}{7} \end{array}]$

Этап 2.5

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{3} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{3} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 0 & 11 \\ 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & 3 - \frac{1}{3} \cdot \frac{90}{7} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{90}{7} \end{array}]$

Этап 2.5.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 0 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{9}{7} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{90}{7} \end{array}]$

Этап 2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & 0 + 4 \cdot 0 & 11 + 4 (- \frac{9}{7}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{9}{7} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{90}{7} \end{array}]$

Этап 2.6.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{41}{7} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{9}{7} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{90}{7} \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x = \frac{41}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = \frac{90}{7}$

Этап 4

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(\frac{41}{7}, - \frac{9}{7}, \frac{90}{7})$

Этап 5

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{41}{7} \\ - \frac{9}{7} \\ \frac{90}{7} \end{array}]$