Линейная алгебра Примеры

$- x - 4 y + 2 z + w = - 32$ , $2 x - y + 7 z + 9 w = 14$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 4 & 2 & - 32 \\ 9 & 2 & - 1 & 7 & 14 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 9 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 9 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 4 & 2 & - 32 \\ 9 - 9 \cdot 1 & 2 - 9 \cdot - 1 & - 1 - 9 \cdot - 4 & 7 - 9 \cdot 2 & 14 - 9 \cdot - 32 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 4 & 2 & - 32 \\ 0 & 11 & 35 & - 11 & 302 \end{array}]$

Этап 2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{11}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{11}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 4 & 2 & - 32 \\ \frac{0}{11} & \frac{11}{11} & \frac{35}{11} & \frac{- 11}{11} & \frac{302}{11} \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 4 & 2 & - 32 \\ 0 & 1 & \frac{35}{11} & - 1 & \frac{302}{11} \end{array}]$

Этап 2.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 4 + \frac{35}{11} & 2 - 1 & - 32 + \frac{302}{11} \\ 0 & 1 & \frac{35}{11} & - 1 & \frac{302}{11} \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{9}{11} & 1 & - \frac{50}{11} \\ 0 & 1 & \frac{35}{11} & - 1 & \frac{302}{11} \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$w - \frac{9 y}{11} + z = - \frac{50}{11}$

$x + \frac{35 y}{11} - z = \frac{302}{11}$

Этап 4

Перенесем все члены без $w$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $\frac{9 y}{11}$ к обеим частям уравнения.

$w + z = - \frac{50}{11} + \frac{9 y}{11}$

$x + \frac{35 y}{11} - z = \frac{302}{11}$

Этап 4.2

Вычтем $z$ из обеих частей уравнения.

$w = - \frac{50}{11} + \frac{9 y}{11} - z$

$x + \frac{35 y}{11} - z = \frac{302}{11}$

$w = - \frac{50}{11} + \frac{9 y}{11} - z$

$x + \frac{35 y}{11} - z = \frac{302}{11}$

Этап 5

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $\frac{35 y}{11}$ из обеих частей уравнения.

$x - z = \frac{302}{11} - \frac{35 y}{11}$

$w = - \frac{50}{11} + \frac{9 y}{11} - z$

Этап 5.2

Добавим $z$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{302}{11} - \frac{35 y}{11} + z$

$w = - \frac{50}{11} + \frac{9 y}{11} - z$

$x = \frac{302}{11} - \frac{35 y}{11} + z$

$w = - \frac{50}{11} + \frac{9 y}{11} - z$

Этап 6

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(- \frac{50}{11} + \frac{9 y}{11} - z, \frac{302}{11} - \frac{35 y}{11} + z, y, z)$

Этап 7

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} w \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{50}{11} + \frac{9 y}{11} - z \\ \frac{302}{11} - \frac{35 y}{11} + z \\ y \\ z \end{array}]$